| Up | 剰余類環 | 作成: 2012-05-18 更新: 2012-05-18 |
すなわち，３を法とする剰余類だと，３つの類を「０を含む類」「１を含む類」「２を含む類」と表現できる。 あるいは，「3を含む類」「7を含む類」「5を含む類」と表現できる。 「ｎを含む類」を， [ｎ] で表す。 類の和 (加法) と積 (乗法) を，つぎのように定義する：
３を法とする剰余類で考える。 [ｍ] ＝ [ｍ′] ，[ｎ] ＝ [ｎ′] であるとは，mーｍ′，ｎーｎ′ が３の倍数であること。 そしてこのとき，(ｍ ＋ ｎ) ー (ｍ′ ＋ ｎ′)，(ｍ × ｎ) ー (ｍ′ × ｎ′) は，つぎの式変形からわかるように，３の倍数である：
（「３」を文字「ｐ」に換えれば，一般的証明になる。） この＋，× は，３を法とする剰余類の場合だと，つぎのようになる：
剰余類の加法と乗法は，それぞれ結合法則，交換法則が成り立つ：
また，両者の間に分配法則が成り立つ：
さらに，[0]，[1] が，それぞれ加法に関する零元，乗法に関する単位元になる：
また，ここまでは自然数に対し剰余類を考えてきたが，まったく同様にして整数に対して剰余類を考えることができる。 そしてこのときは，各類 [ｎ] は＋に関する対称元をもつ──それは類 [−ｎ] である：
以上のことは，数学の「環」のことばを用いて，つぎのように言い表せる：
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