Up わり算は「包含除と等分除」ではない  

    数は２量の比 (「倍」) を表現する。そして，数の積は，「量ａのｍ倍のさらにｎ倍にあたる量は，ａの○倍」の「○」を表現する対象式として導入される。 ──自然数，分数，正負の数，複素数，‥‥ の積は，この条件を満たすように定義される。


    「ｎ÷ｍ」は「ｍとかけてｎになる数」を意味するが，「ｍとかけてｎになる」には ｍ×○＝ｎ と ○×ｍ＝ｎ の２通りがある。

    数が自然数のとき，ｍ×○＝ｎ から「ｎ÷ｍ」が立式される算数の問題は，つぎのようなものである：
      １クラスｍ人なら，何クラスでｎ人？
    また，○×ｍ＝ｎ から「ｎ÷ｍ」が立式される算数の問題は，つぎのようなものである：
      １クラス何人なら，ｍクラスでｎ人？

    ｍ×○＝ｎ が立式される問題と ○×ｍ＝ｎ が立式される問題は，見掛けがかなり (劇的に?) 違ってくる。そこで，前者のタイプの問題に対するわり算の立式が伝統的に「包含除」と呼ばれ，後者の場合が「等分除」と呼ばれてきた。

    数が分数のときは，ｍ×○＝ｎ から「ｎ÷ｍ」が立式される問題は，つぎのようなものである：
      ｍグラムの何倍がｎグラムか？
    また，○×ｍ＝ｎ から「ｎ÷ｍ」が立式される問題は，つぎのようなものである：
      何グラムのｍ倍がｎグラムか？

      確認：
      「ｍグラムの○倍がｎグラム」から「ｍ×○＝ｎ」が導かれる論理はつぎのようになる：
        ｍグラムはグラムのｍ倍。
        よって，ｍグラムの○倍は，グラムのｍ倍の○倍。
        積の定義から，グラムのｍ倍の○倍はグラムの (ｍ×○) 倍。
      ｍも○も量の比である。


    この段階になると，「等分除・包含除」という対立のさせ方も無意味になる。

    「ｎ÷ｍ」に「包含除・等分除」の２つの意味があるのではない。「ｎ÷ｍ」が立式される問題の構造には， ｍ×○＝ｎ で応じるものと ○×ｍ＝ｎ で応じるものの２通りがある。ここが要点である。( ＜倍の合成＞を構造とする問題の解法)

    「等分除・包含除」という擬似論理の用語は，ミス・リーディングである。