Up 「立式・計算」に３つの方式
──「ペンキ塗り」型, 「長方形を１と見る」型, 「数直線」型 		作成: 2011-12-01
更新: 2012-02-01

    「分数のかけ算・わり算」の「立式・計算」の現行指導は，つぎの３つの型が見出される：
    1. 「ペンキ塗り」──塀に見立てた長方形を分割操作
    2. 「長方形を１と見る」──１と見た長方形を分割操作
    3. 「数直線」──＜量/線分を１と見る＞でつくった比例図式を操作
    ここで「３つの型が見出される」の意味は，「どれかの型が一つ択ばれ，そしてこれが一貫して用いられる」ではない。 現前は，指導局面によってどれかの型が部分的に都合よく用いられるとか，これらの型が混在して用いられるというふうになっている。


    (1) 「ペンキ塗り」型

    分数のかけ算・わり算の公式を導入する授業では，ペンキ塗りの文章題を用いるのが常套であった。
    すなわち，この指導法では，分数のかけ算・わり算は＜長方形をタテ・ヨコ２方向に切る＞で説明される。 そこで，＜長方形をタテ・ヨコ２方向に切る＞ができる素材が必要になる。 そして，ペンキを塗る塀がそれだというわけである。

    しかし，＜長方形をタテ・ヨコ２方向に切る＞は，分数のかけ算・わり算の文章題一般に使えない。──例えば，つぎの文章題には使えない：
    　 「2/3 kg の 4/5 は何 kg か？」
    「2/3 kg は何 kg の 4/5 か？」

    翻って，ペンキ塗りの文章題の解法をもって分数のかけ算・わり算の公式を説明することは，《一つの特殊を以て全てを説明したことにする》の騙しをやっていることになる。
    教育的方便としては，これでよいこともある。
    一方，最初から「ペンキ塗り」とは別の型でやっていくことが考えられる。
    現行では，「長方形を１と見る」型と「線分を１と見る」(「数直線」) 型がこの場合になる。


    (2) 「長方形を１と見る」型

    ペンキ塗りの文章題を用いる指導法は，分数のかけ算・わり算を＜長方形をタテ・ヨコ２方向に切る＞で説明する。 このときの長方形は，「ペンキが塗られる塀」のイメージである。 しかし，このイメージを引き摺っていると，分数のかけ算・わり算の文章題一般に使えない。

    そこで，＜タテ・ヨコ２方向に切る＞を行うための長方形を，「１と見る」を使って導入する：


    そして，この「１と見た長方形」に対して，＜分数表現＞となる分割操作をしていく。


    (3) 「数直線」型

    これは，つぎの方法である：
    1. 「数直線」の図として，「比例関係」の図式をつくる。
    2. この図式の中で，一方の量の倍関係の図式を導く。
    3. かけ算・わり算の式を，量の倍関係の図式に対する＜「比の３用法」の適用＞によって導く。
    4. かけ算・わり算の計算のきまりも，同じ図式を用いて導き出す。

    「数直線」型は，本テクストではなく，『「数直線でかけ算・わり算」は，わかるのがおかしい』で取り上げる。