Up 比例関係は量になる 作成: 2012-02-22
更新: 2012-04-15

    速度は，時間と距離の間の比例関係である。
    一方，速度は，量として足したり倍したりできる──実際，日常的にそうしている。

    一般に，比例関係は量になる。
    例として，体積と重さの間の比例関係を考える

    「比例関係」は，数学では，「量の構造に関する準同型」ということになる。
    体積(系)，重さ(系) を，( (Q体積, ＋), ×, (N, ＋, ×) )，( (Q重さ, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) とする。
    体積と重さの間の比例関係 (準同型) 全体の集合を，数学の表記法にならって，Hom( Q体積, Q重さ) で表す。
    この集合から，量 ( (Hom( Q体積, Q重さ), ＋), ×, (N, ＋, ×) ) が導かれる。
    すなわち，＋ と × を，つぎのように定義する：
    1. f, g ∈ Hom( Q体積, Q重さ) に対し，
        (f ＋ g)( x ) ＝ f( x ) ＋ g( x ) 　( x ∈ Q体積 )
    2. f ∈ Hom( Q体積, Q重さ)，ｎ∈ N に対し，
        (f × ｎ)( x ) ＝ f( x ) × ｎ 　( x ∈ Q体積 )

    比例関係は，何でも量になる。
    例えば，面積と人数の比例関係で考えた「混み具合」は，量になる：
    「一客車に20人」と「一客車に30人」を合わせた混み具合は,「一客車に (20＋30) 人」:
    　 　 ( 20人/客車 ＋ 30人/客車 ) (客車)
    ＝ (20人/客車) (客車) ＋ (30人/客車) (客車)
    ＝ 20人 ＋ 30人
    ＝ (20 ＋ 30) 人
    「一客車に20人」の３倍の混み具合は,「一客車に (20 × 3) 人」:
    　 　 ( (20人/客車) × 3 ) (客車)
    ＝ ( (20人/客車) (客車) ) × 3
    ＝ 20人 × 3
    ＝ (20× 3) 人