Up ＜量としての数＞ 作成: 0000-00-00
更新: 2012-02-25

    量(系) Ｑは，構成要素の数(系) Ｎによって，構造が定まる。 すなわち，構成要素にしている数(系) が同じである量(系) は，構造が同じ (同型) である。
    例えば，長さ，重さに対する数の倍を分数倍で考えているとき，長さ(系) と重さ(系) は同型である。
    長さに対する数の倍を自然数倍で考え，重さに対する数の倍を分数倍で考えているとき，長さ(系) と重さ(系) は同型でない。

    量(系) Ｑの構造が構成要素の数(系) Ｎによって定まるのは，どのようなしくみによるのか。
    数(系) Ｎの構造を組み替えて，量(系) をつくることができる。 すなわち＜量としての数＞がつくられる。 そして，Ｑはこの＜量としての数＞と同型になっている。

    これが，＜量としての数＞の概要である。
    以下，この内容を明示的に述べる。


    (1) ＜量としての数＞

    数(系) (N, ＋, ×) を素材にして，
        ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) )
    をつくる。
    これは，量(系) の構造をもつものになる──すなわち，量(系) になる：
    • (N, ＋) の要素が，「量としての数」
    • (N, ＋, ×) の要素が，「量としての数」の倍作用素──すなわち「量の比」


    (2) ＜量としての数＞は，量の普遍対象

    ｇを，量Qの零でない要素とする。Qの要素と数の対応：
      f : ｇ × ｎ ｎ　(ｎ∈ N)
    は，( (Q, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) と ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) の間の同型対応になる。



    すなわち，( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) は，Nの要素を倍の作用素として考えるすべての量 ( (Q, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) にとって，この量の構造を示すものになっている。
    このことは，数学の「普遍対象 (universal object)」のことばを用いて，つぎのように表現される：
      ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) は，(N, ＋, ×) の要素を倍の作用素として考える量の普遍対象。


    「普遍対象」は，いわば，イデア論の「イデア」である。
    ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) は ＜Nを作用域とする量＞のイデアであり，イデア ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) の降りてきたものが ＜Nを作用域とする量＞である。
    ──実際，数学で自体的に存在するのは，数であって，量ではない。


    註： 線型空間論で「体Ｋ上のｎ次元線型空間Ｅ」を少し進んだところで，
      「Ｋからの線型空間Ｋｎの導出」
      「線型空間ＥとＫｎの同型」
    の話が出てくるが，これが，いま論じている「量としての数」「量の普遍対象」の数学と対応している。
    ただし，「線型空間」と「量」は同じではない：
    • 自然数 (, ＋, ×) に対する量 ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) は，線型空間ではない。
    • スカラが実数の２次元実線型空間 ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) は量ではないが，複素数をスカラとしたときの１次元の線型空間 ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) は，( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) と同型なので，量である。

      ( 『「数とは何か？」への答え』 )