公転角度がτのときの緯度ａでの日出・正午・日入の経度ｂは，つぎの通り (  日出・日入, 正午)：
a ≦ π/2 - n であるａに対し，
日の出
\[
b_c =
\frac{ - n_s \ a_s \ \tau_s \ \tau_c
- n_c \tau_c \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_c)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_c)^2) }
\\
\]
正午(昼)
\[
b_c =
\frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c
+ n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2) } \\
\\
\]
日の入
\[
b_c =
\frac{ - n_s \ a_s \ \tau_s \ \tau_c
+ n_c \tau_c \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_c)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_c)^2) }
\\ \ \\
\]
正午(夜)
\[
b_c =
\frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c
- n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2) } \\
\\
\\ \ \\
\]
秋分は，\( \tau = \pi / 2 \) ── \( \tau_s =1, \ \tau_c =0 \) の場合であり，日出，日入は，ともに \( b_c = 0 \) となる。
これは，日出の経度が 270度で，日入が 90度，ということ。
また，正午は，
正午(昼)
\[
\begin{align}
b_c &= \frac{ n_c \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 } }{ a_c \ (1 - (n_s)^2 ) } \\
&= \frac{ \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 } }{ a_c n_c } \\
\end{align}
\\
\]
正午(夜)
\[
\begin{align}
b_c &= \frac{ - n_c \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2} }{ a_c \ (1 - (n_s)^2 ) } \\
&= \frac{ - \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2} }{ a_c n_c } \\
\end{align}
\\
\\ \ \\
\]
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