問題
公転角がτのときの，緯度ａの正午の経度は？
緯度ａの正午の公転軸系直交座標は，つぎのとおり：
a ≦ π/2 - n であるａに対し，
正午(昼)
\[
\begin{align}
x &=
\frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c
+ n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2} \\
\ \\
y &=
\begin{cases}
- \frac{\tau_c}{\tau_s} x & \quad ( \tau \ne 0, \pi )\\
- (a - n)_c & \quad ( \tau = 0 )\\
(a + n)_c & \quad ( \tau = \pi )\\
\end{cases}
\end{align}
\\
\]
正午(夜)
\[
\begin{align}
x &=
\frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c
- n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2} \\
\ \\
y &=
\begin{cases}
- \frac{\tau_c}{\tau_s} x & \quad ( \tau \ne 0, \pi )\\
(a +n)_c & \quad ( \tau = 0 )\\
- (a - n)_c & \quad ( \tau = \pi )\\
\end{cases}
\end{align}
\\ \ \\
\]
そしてつぎが，自転軸系経度緯度と公転軸系直交座標の変換式：
\[
a_s = - n_s \ y + n_c \ z \\
b_c = \frac{x}{a_c} \\
\ \\
\]
よって，緯度ａの正午の経度ｂは，つぎのようになる：
a ≦ π/2 - n であるａに対し，
正午(昼)
\[
b_c =
\frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c
+ n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2) } \\
\]
正午(夜)
\[
b_c =
\frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c
- n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2) } \\
\\
\]
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