Up 南中/日出/日入経度が０, πとなる公転角度τ0, τπ 作成: 2020-09-16
更新: 2021-11-11

    公転角度τに対する \( \tau_0,\ \tau_{\pi} \) は，つぎの方程式の解である：

    日出 \[ cos( b(\tau) ) = \frac{ - n_s \ a_s \ \tau_s \ \tau_c - n_c \tau_c \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_c)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_c)^2) } \\ cos( b(\tau_0) ) = 1 \\ cos( b(\tau_{\pi}) ) = -1 \\ \] 日入 \[ cos( b(\tau) ) = \frac{ - n_s \ a_s \ \tau_s \ \tau_c + n_c \tau_c \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_c)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_c)^2) } \\ cos( b(\tau_0) ) = 1 \\ cos( b(\tau_{\pi}) ) = -1 \\ \ \\ \] 南中 \[ cos( b(\tau) ) = \frac { \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } \\ cos( b(\tau_0) ) = 1 \\ cos( b(\tau_{\pi}) ) = -1 \\ \ \\ \] しかし， \( \tau_0,\ \tau_{\pi} \) が implicit なこの条件式から \( \tau_0,\ \tau_{\pi} \) を explicit に表す式を導くことは，できない。
    よって，つぎが \( \tau_0,\ \tau_{\pi} \) を求める方法になる：
      コンピュータで cos( b(τ) ) (τ＝ 1, 2, ‥‥‥, 359 ) を計算して，
        cos( b(τ) ) が −1 に最も近くなるτ
        cos( b(τ) ) が 1 に最も近くなるτ
      を，それぞれ \( \tau_{\pi}, \ \tau_0 \) とする。