Ｐは緯度ａの点で，いま南中との経度差ｂのところにある： 
Ｐで，地平面に垂直に棒を立てる。 棒の長さの数値を１とする。 太陽の仰角余角をαとする。 地平面上には，長さ tan(α) の影ができる： 
\( \alpha \) は，\( n, \tau, a, b \) (ｎは，公転面に対する自転軸の傾き) でつぎのように表される。 (  緯度ａ経度ｂで見る太陽の高度)：
\[
cos( \alpha ) = a_c \tau_s \ b_c - n_c a_c \tau_c \ b_s + n_s a_s \tau_c
\\
\]
Ｐが南中の位置にあったときの太陽の仰角余角を \( \alpha_0 \) とし，そのときの影といまの影のなす角度をβとする。
\( \alpha_0 \) は，つぎのように表される。 ( 緯度ａでの南中太陽の高度)：
\[
cos( \alpha_0 ) = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\
\\ \ \\
\]
βも，\( n, \tau, a, b \) で表されるはずである。
この式を求める。 つぎのようにベクトルを定める： 
つぎの長さの関係がある： 
よって， \[ \begin{align} cos(b) &= \frac{ {\bf t}_b \cdot {\bf t}_0 }{ | {\bf t}_b | \ | {\bf t}_0 | } \\ \ \\ &= \frac{ ( {\bf s}_b - {\bf e} ) \cdot ( {\bf s}_0 - {\bf e} ) }{ | {\bf t}_b | \ | {\bf t}_0 | } \\ \ \\ &= \frac{ {\bf s}_b \cdot {\bf s}_0 - {\bf s}_b \cdot {\bf e} - {\bf e} \cdot {\bf s}_0 + {\bf e} \cdot {\bf e} } { \sqrt{ 1 + (tan(\alpha))^2 } \ \sqrt{ 1 + (tan(\alpha_0))^2 } } \\ \ \\ &= \frac{ |{\bf s}_b| |{\bf s}_0| cos(\beta ) - 0 - 0 + 1 } { \sqrt{ \frac{1}{ (cos(\alpha))^2 }} \sqrt{\frac{1}{ (cos(\alpha_0))^2 }} } \\ \ \\ &= ( tan(\alpha) tan(\alpha_0) cos(\beta ) + 1 ) cos(\alpha) cos(\alpha_0) \\ &= sin(\alpha) sin(\alpha_0) cos(\beta ) + cos(\alpha) cos(\alpha_0) \end{align} \\ \ \\ \Longrightarrow \ \ cos(\beta ) = \frac{ cos(b) - cos(\alpha) cos(\alpha_0) }{ sin(\alpha) sin(\alpha_0) } \\ \ \\ \] ここまでのまとめ \[ cos(\beta ) = \frac{ cos(b) - cos(\alpha) cos(\alpha_0) }{ sin(\alpha) sin(\alpha_0) } \\ \ \\ cos( \alpha_0 ) = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ cos( \alpha ) = a_c \tau_s \ b_c - n_c a_c \tau_c \ b_s + n_s a_s \tau_c \\ \ \\ \] さて，(正午の経度)ー(南中の経度) ＝ ω とするとき，
ここで，南中の経度 Sb，正午の経度 Mb は，つぎの通り ( 南中の座標, 正午の座標)：
\[
cos( Sb ) = \frac { \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } }
\\ \ \\
cos( Mb ) = \frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c
+ n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2) }
\\ \ \\
\]
まとめ
\[
b = \omega + 15 \times k
\\
\omega = Mb - Sb
\\
cos( Sb ) = \frac { \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } }
\\ \ \\
cos( Mb ) = \frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c
+ n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2) }
\\ \ \\
cos( \alpha_0 ) = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\
cos( \alpha ) = a_c \tau_s \ b_c - n_c a_c \tau_c \ b_s + n_s a_s \tau_c
\\ \ \\
cos(\beta ) = \frac{ cos(b) - cos(\alpha) cos(\alpha_0) }{ sin(\alpha) sin(\alpha_0) }
\\ \ \\
\]
βを \( n, \tau, a, b \) で表す式は，上の式を合わせれば一つの式になるわけであるが，これは簡単な形にはならない。
βは，複数の式で表すことになる。 そしてβを実際に求めるときは，《コンピュータプラグラムを作成してコンピュータで計算》がそれの方法になる。 |