Up 計算式 作成: 2020-10-06
更新: 2020-10-06


    地球の公転角度をτとする:

    Pは緯度aの点で,いま南中との経度差bのところにある:

    Pで,地平面に垂直に棒を立てる。
    棒の長さの数値を1とする。

    太陽の仰角余角をαとする。
    地平面上には,長さ tan(α) の影ができる:

    \( \alpha \) は,\( n, \tau, a, b \) (nは,公転面に対する自転軸の傾き) でつぎのように表される。 ( 緯度a経度bで見る太陽の高度): \[ cos( \alpha ) = a_c \tau_s \ b_c - n_c a_c \tau_c \ b_s + n_s a_s \tau_c \\ \] Pが南中の位置にあったときの太陽の仰角余角を \( \alpha_0 \) とし,そのときの影といまの影のなす角度をβとする。

    \( \alpha_0 \) は,つぎのように表される。 ( 緯度aでの南中太陽の高度): \[ cos( \alpha_0 ) = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ \\ \ \\ \] βも,\( n, \tau, a, b \) で表されるはずである。
    この式を求める。

    つぎのようにベクトルを定める:

    つぎの長さの関係がある:

    よって, \[ \begin{align} cos(b) &= \frac{ {\bf t}_b \cdot {\bf t}_0 }{ | {\bf t}_b | \ | {\bf t}_0 | } \\ \ \\ &= \frac{ ( {\bf s}_b - {\bf e} ) \cdot ( {\bf s}_0 - {\bf e} ) }{ | {\bf t}_b | \ | {\bf t}_0 | } \\ \ \\ &= \frac{ {\bf s}_b \cdot {\bf s}_0 - {\bf s}_b \cdot {\bf e} - {\bf e} \cdot {\bf s}_0 + {\bf e} \cdot {\bf e} } { \sqrt{ 1 + (tan(\alpha))^2 } \ \sqrt{ 1 + (tan(\alpha_0))^2 } } \\ \ \\ &= \frac{ |{\bf s}_b| |{\bf s}_0| cos(\beta ) - 0 - 0 + 1 } { \sqrt{ \frac{1}{ (cos(\alpha))^2 }} \sqrt{\frac{1}{ (cos(\alpha_0))^2 }} } \\ \ \\ &= ( tan(\alpha) tan(\alpha_0) cos(\beta ) + 1 ) cos(\alpha) cos(\alpha_0) \\ &= sin(\alpha) sin(\alpha_0) cos(\beta ) + cos(\alpha) cos(\alpha_0) \end{align} \\ \ \\ \Longrightarrow \ \ cos(\beta ) = \frac{ cos(b) - cos(\alpha) cos(\alpha_0) }{ sin(\alpha) sin(\alpha_0) } \\ \ \\ \] ここまでのまとめ \[ cos(\beta ) = \frac{ cos(b) - cos(\alpha) cos(\alpha_0) }{ sin(\alpha) sin(\alpha_0) } \\ \ \\ cos( \alpha_0 ) = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ cos( \alpha ) = a_c \tau_s \ b_c - n_c a_c \tau_c \ b_s + n_s a_s \tau_c \\ \ \\ \] さて,(正午の経度)ー(南中の経度) = ω とするとき,
      (k時の経度)ー(南中の経度) = ω + 15 × k 度
          ( k = 0, ±1, ±2, ‥‥ )
    よって,b = ω + 15 × k ( k =0, ±1, ±2, ‥‥ ) に対するβを計算することで,棒の影を時針とする日時計ができあがる。

    ここで,南中の経度 Sb,正午の経度 Mb は,つぎの通り ( 南中の座標, 正午の座標): \[ cos( Sb ) = \frac { \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } \\ \ \\ cos( Mb ) = \frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c + n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2) } \\ \ \\ \] まとめ \[ b = \omega + 15 \times k \\ \omega = Mb - Sb \\ cos( Sb ) = \frac { \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } \\ \ \\ cos( Mb ) = \frac{ a_s \ n_s \ \tau_s \ \tau_c + n_c \tau_s \sqrt{(a_c)^2 - (n_s)^2 (\tau_s)^2}}{ a_c \ (1 - (n_s)^2 (\tau_s)^2) } \\ \ \\ cos( \alpha_0 ) = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ cos( \alpha ) = a_c \tau_s \ b_c - n_c a_c \tau_c \ b_s + n_s a_s \tau_c \\ \ \\ cos(\beta ) = \frac{ cos(b) - cos(\alpha) cos(\alpha_0) }{ sin(\alpha) sin(\alpha_0) } \\ \ \\ \] βを \( n, \tau, a, b \) で表す式は,上の式を合わせれば一つの式になるわけであるが,これは簡単な形にはならない。
    βは,複数の式で表すことになる。
    そしてβを実際に求めるときは,《コンピュータプラグラムを作成してコンピュータで計算》がそれの方法になる。