逆２乗法則が成り立つ力ベクトル場は，つぎの式で表されるものであった：
引力モデル：
\[
\phi(\vec{x}) \,=\, - \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|} \\
\vec{F}(\vec{x})\ ( \,=\, - grad\, \phi(\vec{x}) \ ) \,=\, - \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|^2} \vec{e}_{\vec{x} - \vec{a}}
\]
斥力モデル：
\[
\phi(\vec{x}) \,=\, \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|} \\
\vec{F}(\vec{x})\ ( \,=\, - grad\, \phi(\vec{x}) \ ) \,=\, \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|^2} \vec{e}_{\vec{x} - \vec{a}}
\]
この場合，つぎが成り立つ：
\[
div\, \vec{F}(\vec{x})\ ( \,=\, - div\, grad\, \phi(\vec{x}) \,=\, - \Delta \,\phi(\vec{x}) \ ) = 0
\]
「\( div\, \vec{F}(\vec{x})\ ( \,=\, - div\, grad\, \phi(\vec{x}) \,=\, - \Delta \,\phi(\vec{x}) \ ) = 0 \)」の証明：
\[
div\,\vec{F}(\vec{x}) \\
\,=\, div\, ( - grad\, \phi (\vec{x})) \\
\,=\, div\, ( - \phi_x (\vec{x}),\, - \phi_y (\vec{x}),\,- \phi_z (\vec{x}) ) \\
\,=\, -\frac{\partial \phi_x(\vec{x})}{\partial x} - \frac{\partial \phi_y(\vec{x})}{\partial y} - \frac{\partial \phi_z (\vec{x})}{\partial z} \\
\,=\, - \Delta \,\phi(\vec{x})
\]
以下，引力モデルで：
\[
div\,\vec{F}(\vec{x}) \\
\,=\, div \left( - \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|^2} \vec{e}_{\vec{x} - \vec{a}} \right) \\
\,=\, - \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|^2} \frac{x-a_x}{|\vec{x} - \vec{a}|}
- \frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|^2} \frac{y-a_y}{|\vec{x} - \vec{a}|}
- \frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|^2} \frac{z-a_z}{|\vec{x} - \vec{a}|} \\
\ \\
\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{a}|^2} \frac{x-a_x}{|\vec{x} - \vec{a}|} \\
\,=\, \frac{\partial}{\partial x} \frac{x-a_x}{((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{\frac{3}{2}} } \\
\,=\, ((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{-\frac{3}{2}} \\
\,+\, (x-a_x) (- \frac{3}{2}) ((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{-\frac{5}{2}} (2( x-a_x)) \\
\,=\, \frac{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2}{((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{-\frac{5}{2}}} \\
\,+\, \frac{-3(x-a_x)^2}{ ((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{-\frac{5}{2}}} \\
\,=\, \frac{-2(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2}{((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{-\frac{5}{2}}} \\
よって， \\
div\,\vec{F}(\vec{x}) \\
\,=\, \frac{2(x-a_x)^2 - (y-a_y)^2 - (z-a_z)^2}{((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{-\frac{5}{2}}} \\
\,+\, \frac{-(x-a_x)^2 + 2(y-a_y)^2 - (z-a_z)^2}{((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{-\frac{5}{2}}} \\
\,+\, \frac{-(x-a_x)^2 - (y-a_y)^2 +2 (z-a_z)^2}{((x-a_x)^2 + (y-a_y)^2 + (z-a_z)^2)^{-\frac{5}{2}}} \\
= 0
\]
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