力ベクトル場 \( \vec{F} ( \vec{x} ) \) に対し，「各 \( \vec{x} \) における rotation」として，\( rot\,\vec{F}( \vec{x} ) \) を定義する。
\( rot\,\vec{F} \) の大意は，つぎのようになる：
「力ベクトル場 \( \vec{F} ( \vec{x} ) \) の中で物単位が輪を描いて一周するときの，
仕事の損得」
そして，この大意を厳密化していって，\( rot\,\vec{F} \) の定義となる。
\( rot\,\vec{F} \) の概念は，わかりにくい。
わかりにくいのは，つぎの二点による：
- ベクトル量であること
- ＜単位面積ベクトル＞あたり量であること
（一周の長さに依存するのではなく，一周で囲む面積に依存する）
即ち，\( rot\,\vec{F} \) は，つぎのように定義される：
\[ rot \, \vec{F} = \left(
\frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y }, \,
\frac{ \partial F_z }{ \partial x } - \frac{ \partial F_x }{ \partial z }, \,
\frac{ \partial F_x }{ \partial y } - \frac{ \partial F_y }{ \partial x }
\right) \]
そして，つぎがこれの用い方になる：
\[ \int_S rot \, \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS \]
以下，この概念がつくられるロジックを見ていく。
力ベクトル場 \( \vec{F} (\vec{x}) \) の中の微小面積 \( dS \) を考える：
物単位が \( dS \) の縁を一周するときの仕事を，\( dW \) とする。
そして「単位面積あたりの仕事」に \( dW \) を換算したものを，\( W \) とする。
\( dS \) を，yz平面，zx平面，xy平面それぞれに射影する：
\( dS_x \) : yz平面への射影
\( dS_y \) : zx平面への射影
\( dS_z \) : xy平面への射影
仕事 \( dW_x, \,dW_y, \,dW_z \) をつぎのように定める：
\( dW_x \) : 物単位が \( dS_x \) の縁を一周するときの仕事
\( dW_y \) : 物単位が \( dS_y \) の縁を一周するときの仕事
\( dW_z \) : 物単位が \( dS_z \) の縁を一周するときの仕事
\( dW_x, \,dW_y, \,dW_z \) をそれぞれ「単位面積あたりの仕事」に換算したものを，\( W_x, \,W_y, \,W_z \) とする。
このとき，\( W \) はベクトル \( (W_x, \,W_y, \,W_z) \) の大きさと等しい。
以下，\( (W_x, \,W_y, \,W_z) \) を求める。
\( W_x \) の場合：
はじめに，\( dS_x \) が長方形の場合を考える：
このとき，
\( dW_x = F_y(y, z) \Delta y \\
+ F_z(y+ \Delta y, z) \Delta z \\
- F_y(y, z+ \Delta z) \Delta y \\
- F_y(y, z) \Delta z \\
= ( F_y(y, z) - F_y(y, z+ \Delta z)) \Delta y
- ( F_z(y, z) - F_y(y+ \Delta y, z)) \Delta z \\
\approx ( \frac{ \partial F_y }{ \partial z } \Delta z ) \Delta y
- ( \frac{ \partial F_z }{ \partial y } \Delta y )\Delta z \\
= ( \frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y } ) \Delta y \Delta z \\
= ( \frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y } ) \, dS_x \)
\( dS_x \) の一般形に対しては，つぎの区分求積を考える：
区分した長方形の辺長を \( \Delta y_1, \Delta z_1 \) とし，これの一周の仕事を \( dW_{x1} \) とする。
重なる辺で仕事が相殺されるので，つぎが成り立つ：
\( dW_x \approx \sum \, dW_{x1} \)
さらに，
\( \sum \, dW_{x1} = \sum \, ( \frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y } ) \Delta y_1 \Delta z_1 =
( \frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y } ) \sum \, \Delta y_1 \Delta z_1 \\
\approx ( \frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y } ) \, dS_x
\)
結局，
\( dW_x = ( \frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y } ) \, dS_x \)
\( dW_x \) は面積 \( dS_x \) あたりの仕事なので，
\( W_x = \frac{ dW_x }{ dS_x } = \frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y } \)
\( W_x \) の計算と同様に， \( W_y, \,W_z \) を計算する。
結果は，つぎのようになる：
\[ (W_x, \,W_y, \,W_z ) = \left(
\frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y }, \,
\frac{ \partial F_z }{ \partial x } - \frac{ \partial F_x }{ \partial z }, \,
\frac{ \partial F_x }{ \partial y } - \frac{ \partial F_y }{ \partial x }
\right) \]
この式の右辺を，\( rot \, \vec{F} \) と表す：
\[ rot \, \vec{F} = \left(
\frac{ \partial F_y }{ \partial z } - \frac{ \partial F_z }{ \partial y }, \,
\frac{ \partial F_z }{ \partial x } - \frac{ \partial F_x }{ \partial z }, \,
\frac{ \partial F_x }{ \partial y } - \frac{ \partial F_y }{ \partial x }
\right) \]
演算子記号 \( \nabla = ( \frac{ \partial }{ \partial x} , \frac{ \partial }{ \partial y} , \frac{ \partial }{ \partial z} ) \) を用いれば，形式的に \( \nabla \) と \( \vec{F} = (F_x, \,F_y, \,F_z) \) の外積ということになる：
\[ rot \, \vec{F} = \nabla \times \vec{F} \]
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