流体の運動方程式を求める。
考え方は，「流体粒子の運動方程式」。
設定：
流体粒子の質量は，
\[
\rho \times ( ds \times dn \times 1 ) = \rho\ ds\ dn
\]
流れの加速度は，
\[
\frac{ D q }{ D t } = \frac{ \partial q }{ \partial t } + q\ \frac{ \partial q }{ \partial s }
\]
圧力 \( p' \) は，
\[
p' = p + \frac{ \partial p }{ \partial s }\ ds
\]
よって，流体粒子が受ける圧力は，
\[
( p - p' ) \times ( dn \times 1 ) = - \frac{ \partial p }{ \partial s }\ ds\ dn
\]
流体粒子に働く＜流れ方向の力＞は，
流れの加速度 × 質量 ＝ ( 重力の流れ方向の分力 × 質量 ) ＋ 圧力
\[
\Bigl( \frac{ \partial q }{ \partial t } + q\ \frac{ \partial q }{ \partial s }\ \Bigr) \times \rho\ ds\ dn \\
= ( ( F_b\ cos( \alpha ) ) \times \rho\ ds\ dn ) + \Bigl( - \frac{ \partial p }{ \partial s }\ ds\ dn\ \Bigr) \\
\]
両辺を \( \rho\ ds\ dn \) ──流体粒子の質量──で割ると，
\[
\frac{ \partial q }{ \partial t } + q\ \frac{ \partial q }{ \partial s }
= F_b\ cos( \alpha ) - \frac{ 1 }{ \rho }\ \frac{ \partial p }{ \partial s } \\
\]
そしてこれの意味は，
局所加速度 ＋ 対流加速度
＝ 重力の流れ方向分力 (単位質量あたり) ＋ 圧力 (単位質量あたり)
ここで，
\[
F_b = g \\
cos( \alpha ) = - \frac{ dz }{ ds }
\]
よって，
\[
\frac{ \partial q }{ \partial t } + q\ \frac{ \partial q }{ \partial s }
= - g\ \frac{ dz }{ ds } - \frac{ 1 }{ \rho }\ \frac{ \partial p }{ \partial s } \\
\]
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