Up オイラーの運動方程式 作成: 2023-01-15
更新: 2023-01-15


    2次元流れの運動方程式を求める。
    考え方は,「\( x \) 方向に流体粒子にかかる力」。


    設定:
    • 流体の密度:\( \rho \)
    • 流体粒子と流速:


    流体において,単位質量に \( x \) 方向に働く力を, \( X \) とする。
    このとき,上の粒子には,\( x \) 方向につぎの力がかかる:
      \[ X \times ( \rho \times ( dx \times dy \times 1 ) ) = \rho\ dx\ dy\ X \]

    粒子には,この力と反対方向に,圧力 \( p( x ) \) による力がかかる:
      \[ x 方向に粒子に働く<単位長さあたりの単位面積あたりの力> = - \frac{ dp }{ dx } \\ \Longrightarrow \ \ x 方向に粒子に働く<単位面積あたり力> = \Bigl( - \frac{ dp }{ dx }\ \Bigr)\ dx \\ \Longrightarrow \ \ x 方向に粒子に働く力: \Bigl( - \frac{ dp }{ dx }\ dx \Bigr)\ \times ( dy \times 1 ) = - \frac{ dp }{ dx }\ dx\ dy \\ \]
    よって,粒子に \( x \) 方向にかかる力は,
      \[ \rho\ dx\ dy\ X - \frac{ dp }{ dx }\ dx\ dy \\ \]

    一方,粒子に \( x \) 方向にかかる力は, \( x \) 方向の流速 \( u \) を用いてつぎのように表現される:
      \[ 質量 \times 加速度 = ( \rho\ dx\ dy ) \times \frac{ Du }{ Dt } \]

    以上まとめて,
      \[ \rho\ dx\ dy\ X - \frac{ dp }{ dx }\ dx\ dy = \rho\ dx\ dy\ \frac{ Du }{ Dt } \]

    両辺を \( \rho\ dx\ dy \) で割って,
      \[ X - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dx } = \frac{ Du }{ Dt } \]

    ここで, \[ \frac{ D u }{ D t } = \frac{ \partial u }{ \partial t } + u\ \frac{ \partial u }{ \partial x } + v\ \frac{ \partial u }{ \partial y } \] なので,結局,
      \[ X - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dx } = \frac{ \partial u }{ \partial t } + u\ \frac{ \partial u }{ \partial x } + v\ \frac{ \partial u }{ \partial y } \]

    この式を,2次元流れのオイラーの運動方程式という。