２次元流れの運動方程式を求める。
考え方は，「\( x \) 方向に流体粒子にかかる力」。
設定：
- 流体の密度：\( \rho \)
- 流体粒子と流速：
流体において，単位質量に \( x \) 方向に働く力を， \( X \) とする。
このとき，上の粒子には，\( x \) 方向につぎの力がかかる：
\[
X \times ( \rho \times ( dx \times dy \times 1 ) ) = \rho\ dx\ dy\ X
\]
粒子には，この力と反対方向に，圧力 \( p( x ) \) による力がかかる：
\[
x 方向に粒子に働く＜単位長さあたりの単位面積あたりの力＞ = - \frac{ dp }{ dx } \\
\Longrightarrow \ \ x 方向に粒子に働く＜単位面積あたり力＞ = \Bigl( - \frac{ dp }{ dx }\ \Bigr)\ dx \\
\Longrightarrow \ \ x 方向に粒子に働く力： \Bigl( - \frac{ dp }{ dx }\ dx \Bigr)\ \times ( dy \times 1 )
= - \frac{ dp }{ dx }\ dx\ dy \\
\]
よって，粒子に \( x \) 方向にかかる力は，
\[
\rho\ dx\ dy\ X - \frac{ dp }{ dx }\ dx\ dy \\
\]
一方，粒子に \( x \) 方向にかかる力は， \( x \) 方向の流速 \( u \) を用いてつぎのように表現される：
\[
質量 \times 加速度 = ( \rho\ dx\ dy ) \times \frac{ Du }{ Dt }
\]
以上まとめて，
\[
\rho\ dx\ dy\ X - \frac{ dp }{ dx }\ dx\ dy
= \rho\ dx\ dy\ \frac{ Du }{ Dt }
\]
両辺を \( \rho\ dx\ dy \) で割って，
\[
X - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dx }
= \frac{ Du }{ Dt }
\]
ここで，
\[
\frac{ D u }{ D t }
= \frac{ \partial u }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial u }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial u }{ \partial y }
\]
なので，結局，
\[
X - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dx }
= \frac{ \partial u }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial u }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial u }{ \partial y }
\]
この式を，２次元流れのオイラーの運動方程式という。
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