２次元流れの実質微分は，
\[
\frac{ D }{ D t }
= \frac{ \partial }{ \partial t }
+ \Big(\ \frac{ dx }{ dt }\ \frac{ \partial }{ \partial x } + \frac{ dy }{ dt }\ \frac{ \partial }{ \partial y }\ \Bigl)
\]
つぎのようにおく：
\[
\frac{ dx }{ dt } = u( x, y, t ) \\
\frac{ dy }{ dt } = v( x, y, t ) \\
\]
このとき，
\[
\frac{ D u }{ D t } = \frac{ \partial u }{ \partial t } + \Big(\ u\ \frac{ \partial u }{ \partial x } + v\ \frac{ \partial u }{ \partial y }\ \Bigl) \\
\ \\
\frac{ D v }{ D t } = \frac{ \partial v }{ \partial t } + \Big(\ u\ \frac{ \partial v }{ \partial x } + v\ \frac{ \partial v }{ \partial y }\ \Bigl)
\]
これをつぎのように読む：
密度 \( \rho( x, y, t ) \) に対し
\[
\frac{ D \rho }{ D t } = \frac{ \partial \rho }{ \partial t } + \Big(\ u\ \frac{ \partial \rho }{ \partial x } + v\ \frac{ \partial \rho }{ \partial y }\ \Bigl)
\]
実質微分の式の導出
\[
f( x + \Delta x,\ y + \Delta y,\ t + \Delta t ) - f( x,\ y,\ t ) \\
\ \\
= (\ f( x + \Delta x,\ y + \Delta y,\ t + \Delta t )
- f( x + \Delta x,\ y + \Delta y,\ t ) ) \\
\quad + (\ f( x + \Delta x,\ y + \Delta y,\ t )
- f( x,\ y + \Delta y,\ t ) ) \\
\quad + (\ f( x,\ y + \Delta y,\ t )
- f( x,\ y,\ t ) )
\]
これより，
\[
\frac{ f( x + \Delta x,\ y + \Delta y,\ t + \Delta t ) - f( x,\ y,\ t ) }{ \Delta t } \\
\ \\
= \frac{ \ f( x + \Delta x,\ y + \Delta y,\ t + \Delta t )
- f( x + \Delta x,\ y + \Delta y,\ t ) ) }{ \Delta t }\\
\quad + \frac{ \Delta x }{ \Delta t }\ \
\frac{ f( x + \Delta x,\ y + \Delta y,\ t )
- f( x,\ y + \Delta y,\ t ) }{ \Delta x } \\
\quad + \frac{ \Delta y }{ \Delta t }\ \
\frac{ f( x,\ y + \Delta y,\ t )
- f( x,\ y,\ t ) }{ \Delta y } \\
\]
\( \Delta t \rightarrow 0 \) で \( \Delta x,\ \Delta y \rightarrow 0 \) だとすると，
\[
\frac{ D f }{ D t }
= \frac{ \partial f }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial f }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial f }{ \partial y }
\]
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