２次元流れの運動方程式の導出は，考え方が「\( x \) 方向に流体粒子にかかる力」であった。
３次元流れの運動方程式の導出は，これに「\( y \) 方向に流体粒子にかかる力」「\( z\) 方向に流体粒子にかかる力」を加えるだけである。
設定：
- 流体の密度：\( \rho \)
- 圧力：\( p( x, y, z ) \)
- 流速
\( u( x, y, z, t ) \) : \( x \) 方向の速さ
\( v( x, y, z, t ) \) : \( y \) 方向の速さ
\( w( x, y, z, t ) \) : \( z \) 方向の速さ
- 質量力
\( X \) : 単位質量あたりの \( x \) 方向に 働く力
\( Y \) : 単位質量あたりの \( y \) 方向に 働く力
\( Z \) : 単位質量あたりの \( z \) 方向に 働く力
このとき，
\[
X - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dx }
= \frac{ \partial u }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial u }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial u }{ \partial y }
+ w\ \frac{ \partial u }{ \partial z } \\
Y - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dy }
= \frac{ \partial v }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial v }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial v }{ \partial y }
+ w\ \frac{ \partial v }{ \partial z } \\
Z - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dz }
= \frac{ \partial w }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial w }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial w }{ \partial y }
+ w\ \frac{ \partial w }{ \partial z } \\
\]
この式を，３次元流れのオイラーの運動方程式という。
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