粘性流体に対しては，これの運動方程式として，オイラーの運動方程式に粘性項を加えたものを用いる：
\[
\frac{ \partial u }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial u }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial u }{ \partial y }
+ w\ \frac{ \partial u }{ \partial z } \\
= X - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dx } \ \
\quad + \nu\ \Bigl(
\frac{ \partial^2 u }{ \partial x^2 }
+ \frac{ \partial^2 u }{ \partial y^2 }
+ \frac{ \partial^2 u }{ \partial z^2 }\
\Bigr) \\
\ \\ \ \\
\frac{ \partial v }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial v }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial v }{ \partial y }
+ w\ \frac{ \partial v }{ \partial z } \\
= Y - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dy } \ \
\quad + \nu\ \Bigl(
\frac{ \partial^2 v }{ \partial x^2 }
+ \frac{ \partial^2 v }{ \partial y^2 }
+ \frac{ \partial^2 v }{ \partial z^2 }\
\Bigr) \\
\ \\ \ \\
\frac{ \partial w }{ \partial t }
+ u\ \frac{ \partial w }{ \partial x }
+ v\ \frac{ \partial w }{ \partial y }
+ w\ \frac{ \partial w }{ \partial z } \\
= Z - \frac{ 1 }{ \rho }\frac{ dp }{ dz } \ \
\quad + \nu\ \Bigl(
\frac{ \partial^2 w }{ \partial x^2 }
+ \frac{ \partial^2 w }{ \partial y^2 }
+ \frac{ \partial^2 w }{ \partial z^2 }\
\Bigr) \\
\]
ここで，
\[
\nu\ \Bigl(
\frac{ \partial^2 u }{ \partial x^2 }
+ \frac{ \partial^2 u }{ \partial y^2 }
+ \frac{ \partial^2 u }{ \partial z^2 }\
\Bigr) \\
\ \\
\nu\ \Bigl(
\frac{ \partial^2 v }{ \partial x^2 }
+ \frac{ \partial^2 v }{ \partial y^2 }
+ \frac{ \partial^2 v }{ \partial z^2 }\
\Bigr) \\
\ \\
\nu\ \Bigl(
\frac{ \partial^2 w }{ \partial x^2 }
+ \frac{ \partial^2 w }{ \partial y^2 }
+ \frac{ \partial^2 w }{ \partial z^2 }\
\Bigr) \\
\]
が，粘性項である。
この式を，ナビエ・ストークス方程式という。
また，「\( \nu \)」を，動粘度という。
|