Up リーマン多様体を時空間の数学モデルにする理由 作成: 2018-01-08
更新: 2018-01-08

    一般相対性理論では，時空の「局所座標系」の存在を仮定する。
    これは，時空を可微分多様体として考えることである。

    一般性相対理論は，物理法則の不変性を「一般共変性」の規準で立てようとする。
    これは，物理法則を，可微分多様体の一種であるリーマン多様体のテンソルに対応させることができると，うまくいく。
    リーマン多様体上で定義される概念のテンソルは，座標変換で不変だからである。

    リーマン多様体では，各点 \(\bf x\) に基本計量テンソル \(g_{ij}({\bf x})\) が与えられる：
      \[ ds^2 = g_{ij}\, dx^i\, dx^j \]
    一般性相対理論は，この \(g_{ij}\) として重力場テンソルを構築できないかと考える。


    時空が「局所座標系多様体」としてリーマン多様体になり，そして重力場テンソルが \(g_{ij}\) になるということは，局所座標系を互いに接続する糊になるのは重力場テンソルだということである。
    そしてつぎが，このときの「糊になる」の内容である：

      局所座標系は，時間座標と空間座標を合わせた４次元である。
      そこで，リーマン多様体の次元は４次元が択られる。

      局所座標系 \(( x^0, x^1, x^2, x^3 )\) は，つぎの形のものである：
        時間座標：\(x^0 = ct\)
        空間座標：\(x^1 = x,\, x^2 = y,\, x^3 = z\)
      そして，この座標系での計量は，つぎのように立てられている (「ミンコフスキー計量 \( {\eta}_{ij} \)」)：
        \[ ds^2 = - c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]
      そこで，計量テンソル \(g_{ij}\) は，つぎの条件を充足するものでなければならない：
        適当な座標変換により，\(g_{ij}\) はミンコフスキー計量 \( {\eta}_{ij} \) になる： \[ g_{tt} = -1, \ \ g_{xx} = 1, \ \ g_{yy} = 1, \ \ g_{zz} = 1 \]