Up 力──4元力 作成: 2017-12-07
更新: 2017-12-07


    運動量の4元化が成ったところで,つぎを力の4元化の候補にする:
      \[ \frac{d{\bf P}}{d \tau} \,=\,{\bf F} \]
    ここで \( \tau \) は固有時間。

    \( \bf F \) は,慣性系に依らない──ローレンツ変換で不変である──ことがわかる。
    よって,これを力の4元化とする。


    \( \bf F \) を成分で表すと,つぎのようになる:
      \( {\bf P} = m \,{\bf u} \) であって,慣性系Sで \[ \\ {\bf u} = \left( \frac{c}{ \sqrt{1 - \frac{| {\bf v} |^2}{c^2}} } ,\, \frac{v_x}{ \sqrt{1 - \frac{| {\bf v} |^2}{c^2}} } ,\, \frac{v_y}{ \sqrt{1 - \frac{| {\bf v} |^2}{c^2}} } ,\, \frac{v_z}{ \sqrt{1 - \frac{| {\bf v} |^2}{c^2}} } \right) \\ m {\bf v} \,=\,{\bf p} \\ \frac{d{\bf p}}{dt} \,=\,{\bf f} \\ {\bf f} = ( f_x,\, f_y,\, f_z) \] であるとき: \[ {\bf F} = \left( \frac{{\bf f} \cdot {\bf v}}{ \sqrt{1 - \frac{| {\bf v} |^2}{c^2}} } ,\, \frac{f_x}{ \sqrt{1 - \frac{| {\bf v} |^2}{c^2}} } ,\, \frac{f_y}{ \sqrt{1 - \frac{| {\bf v} |^2}{c^2}} } ,\, \frac{f_z}{ \sqrt{1 - \frac{| {\bf v} |^2}{c^2}} } \right) \]