Up 時間の４元化──固有時間 作成: 2017-12-06
更新: 2017-12-06

    時間の４元化は，つぎが方針となる：
      《静止した時計が表す時間を，慣性系に依らないようにする》
    ──ていねいに言うと：
      《時計Ｃが静止する慣性系ＳにおいてＣが表す時間Ｔを，
      　他の任意の慣性系Ｓ′ から見ても同じくＴであるようにする》
    そんなことが実現できるかというと，できるのである。

    世界線ｗとその上の２点A, Bに対し，慣性系Ｓを任意にとって，つぎの積分を立てる：
        \[ \int_A^{B} \sqrt{ 1 - \frac{ | {\bf v}(t) |^2}{c^2} } \,dt \]
    この積分の値は，慣性系に依らない──即ち，ローレンツ変換 \( \Lambda \) において不変である──ことがわかる。
    そこでこれを，「ｗに沿ったＡからＢの固有時間」と定義する。

    このように定義した固有時間は，実際，静止した時計Ｃが表す時間と一致する： \[ \int_A^{B} \sqrt{ 1 - \frac{ | 0 |^2}{c^2} } \,dt \,=\, \int_0^{T} \sqrt{ 1 - \frac{ | 0 |^2}{c^2} } \,dt \,=\, T \]