つぎの問題を考える：
観測者Ｓと，Ｓに対し相対速度Ｖで等速運動する観測者Ｔがいる。
Ｓにおける長さ \( L_S \) は，Ｔにおいては長さ \( L_T \) になるとする。
\( L_S \) に対する \( L_T \) の比率ｒは？
与条件：光の速度は，これを観測する者に依らず一定ｃである。
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生活感覚は, 「速度は相対的，長さは絶対」である。
「光速は絶対」ということにすると「長さは相対的」になるというのが，この問いの趣旨である。
比率ｒを求める手法は，思考実験である。
自分を観察者Ａにして，長さ \( L = L_S \) を速度Ｖで等速運動させる。
そして，このときのこれの長さ \( L_1 \) を計算する。
この \( L_1 \) をつぎのように考える：
Ｓで静止している \( L_S \) は，Ｔでは比率ｒを以て長さ \( L_T \) になる。
Ｔで静止している \( L_T \) は，Ｓでは比率ｒを以て長さ \( L_1 \) になる。
ここでは，つぎの二つを等しくｒであるとしている：
Ｔの静止長さに対する，Ｓがこれに観る長さの比率
Ｓの静止長さに対する，Ｔこれに観る長さの比率
このように設定するのは，ＳとＴの立場は相対的と見ることになるからである：
こうして，\( L \) に対する \( L_1 \) の比率Ｒは，ｒとｒの合成 \( r^2 \) ということになる。
したがって，つぎのようになる：
以下，ｒを求める。
線分 \( AB \) の長さが \( L \) であるとする。
この線分の中点をＭとする。
tx座標を導入し，A, M, B の世界線 \( w_A ,\, w_M ,\, w_B \) を書く。
つぎに，この線分が，線分 \( A^{'}B^{'} \) (中点 \( M^{'} \) ) としてｘ軸方向に速度Vで等速運動する様を考える。
これの世界線 \( w_{A^{'}} ,\, w_{M^{'}} ,\, w_{B^{'}} \) を書く。
つぎに，ct = 0 で \( M \) より光が発せられた，と考える。
光は，この図では \( A^{'} \rightarrow ( A と B ) \rightarrow B^{'} \) の順に到達する：
それぞれの到達時間を，\( ct_{A^{'}}, ct_0, ct_{B^{'}} \) とする。
これより：
\[
AB = AM + MB = ct_0 + ct_0 = 2\, ct_0 \\
A^{'}B^{'} = M^{'}A^{'} + M^{'}B^{'} = (ct_0 - Vt_{A^{'}}) + (ct_0 + Vt_{B^{'}}) = 2\, ct_0 + V (t_{B^{'}} - t_{A^{'}} ) \\
\]
また，図中の光の軌跡を表す線は，傾きが 1 になっているから，
\[
Vt_{A^{'}} = ct_0 - ct_{A^{'}} \Longrightarrow ( c + V) t_{A^{'}} = c t_0 \Longrightarrow t_{A^{'}} = \frac{c t_0}{c + V } \\
Vt_{B^{'}} = ct_{B^{'}} - ct_0 \Longrightarrow (c - V) t_{B^{'}} = c t_0 \Longrightarrow t_{B^{'}} = \frac{c t_0}{c - V} \\
t_{B^{'}} - t_{A^{'}} = \frac{c t_0}{c - V} - \frac{c t_0}{c + V }
= \frac{2\,V\,c t_0}{c^2 - V^2 }
\]
よって
\[
A^{'}B^{'} = 2\, ct_0 + V (t_{B^{'}} - t_{A^{'}} )
= 2\, ct_0 + \frac{2\,V^2\,c t_0}{c^2 - V^2 }
= \frac{2\,c t_0\, c^2}{c^2 - V^2 } \\
R = \frac{A^{'}B^{'}}{AB} = \frac{c^2}{c^2 - V^2 } = \frac{1}{1 - \frac{V^2}{c^2} } \\
r = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2} }}
\]
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