Up 「時間がゆっくり進む」 作成: 2017-12-03
更新: 2017-12-03

    「ローレンツ収縮」を，「時間」の側から見るとする。

    「ローレンツ収縮」で，つぎの図を導いた：


    これに対し，つぎの時間を読む：
    　「 静止している線分ABにおいて，AからBまで光が進む時間 T」
    　「 速度Vで等速運動している線分ABにおいて，AからBまで光が進む時間 \( T_1 \)」

    \( T,\,T_1 \) は，つぎのようになる：
      \[ T = 2\,c\,t_0 \\ T_1 = 2\,c\,t_0 + V (t_{B^{'}} - t_{A^{'}}) \]
    また，「ローレンツ収縮」のところで，つぎの式を得ている：
      \[ t_{B^{'}} - t_{A^{'}} = 2\,c\,t_0 - V \frac{2\,V\,c t_0}{c^2 - V^2 } \]
    よって，
      \[ \frac{T_1}{T} = 1 + \frac{V^2}{c^2 - V^2} = \frac{c^2}{c^2 - V^2 } = \frac{1}{1 - \frac{V^2}{c^2} } \]
    特に，\( T_1 > T \) である。
    これをつぎのように読む：
      「同じ距離を進むのに余計に時間がかかる」
      「時間がゆっくり進む」
      「時間が収縮する」

    そして「長さの収縮」のときのように，
      観測者Ｓと，Ｓに対し相対速度Ｖで等速運動する観測者Ｔがいる。
      Ｓの時間は，Ｔでは比率ｒを以て収縮する。
      Ｔの時間は，Ｓでは比率ｒを以て収縮する。
    と考え，上で導いた \( R = \frac{T_1}{T} \) に対し \( R = r^2 \)，即ち \( r = \sqrt{R} \) と定める：
      \[ r = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2} }} \]