Up ミンコフスキー計量テンソルの一般座標表現 作成: 2018-01-01
更新: 2018-01-01


    特殊相対性理論において計量テンソルが考えられる空間は,ミンコフスキー空間である。
    そこでは,つぎが計量テンソルになった:
      \[ ds^2 = \sum_{i=0}^3 \eta_{ij} \, dx^i \, dx^j \\ \eta_{ij} = \left( \begin{array}{cccc} -1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \\ \end{array} \right) \]

    そしてこれの一般座標 \( u^i \) への書き換えは,つぎのようになる ( 「一般座標の計量テンソル」):
      \[ \left( \begin{array}{c} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{c} \left(\,\frac{\partial x^i}{\partial u^j}\,\right) \\ \longleftarrow \\ \longrightarrow \\ \left(\,\frac{\partial u^i}{\partial x^j}\,\right) \\ \end{array} \left( \begin{array}{c} u^0 \\ u^1 \\ u^2 \\ u^3 \\ \end{array} \right) \\ x^i = \sum_{j=0}^3 \frac{\partial x^i}{\partial u^j} u^j \ \ \ \ (\, i = 0,1,2,3 \,)  \\ ds^2 = \sum_{i,j=0}^3 g_{ij}\, du^i \, du^j \\ g_{ij} = \sum_{k,l=0}^3 \eta_{kl} \frac{\partial x^k}{\partial u^i} \frac{\partial x^l}{\partial u^j} \]