Up 「一般相対性理論」の「相対性」の意味 作成: 2018-01-06
更新: 2018-02-10

    一般相対性理論の「相対性」は，特殊相対性理論の「相対性」の一般化である。


    特殊相対性理論の「相対性」は，つぎの二つの系の間に現れるものである：
    　《 Ａ, Ｂは，一方が他方にとって等速直線運動する》
    そしてその現れるものは，
    　《 Ａ, Ｂが立てる正規直交座標は，ＡがＢの正規直交座標を見るときはＢの進行方向に縮んでおり，ＢがＡの正規直交座標を見るときはＡの進行方向に縮んでいる》，

    特殊相対性理論は，
    　《 Ａ, Ｂは同じ正規直交座標をそれぞれ立て，それによって世界を観測する》
    を設定し，
    　《 ＡがＢの正規直交座標を見ればそれは正規直交座標ではなく，ＢがＡの正規直交座標を見ればそれは正規直交座標ではない》，
    を「相対性」として主題にした。
    一般相対性理論がすることも，これである。
    一般相対性理論が特殊相対性理論と違うのは，特殊相対性理論の設定であった「等速直線運動」を無しにしたことである。


    ニュートン力学では，正規直交座標は相対的とはならない。
    特殊相対性理論では，相対的となる。
    そこで，空間はいわば「正規直交座標多様体」になる。
    個々に立つ正規直交座標をつなげるものは，座標の変換式である。

    一般相対性理論も，状況はこれと同じである。
    違うのは，系の一般化に合わせて，座標変換式が一般化されることである。

    特殊相対性理論では，つぎのようになった：
      ＡがＢの正規直交座標を見ると，それはＢの進行方向に縮んでいて，正規直交座標ではない。
      ＢがＡの正規直交座標を見ると，それはＡの進行方向に縮んでいて，正規直交座標ではない。
    一般相対性理論では，「進行方向に縮む」が「曲がる」に一般化される：
      ＡがＢの正規直交座標を見ると，それは曲がっていて，正規直交座標ではない。
      ＢがＡの正規直交座標を見ると，それは曲がっていて，正規直交座標ではない。


    もっとも，「縮む」も「曲がる」も，「歪む」である。
    特殊相対性理論では，つぎのようにして，「歪む」を表現した：
      全空間を，時間軸をこれに直交するようにとったミンコフスキー空間に埋め込む。
      このとき，Ｂの正規直交座標がＡの正規直交座標の上にどんなふうに現れるかを見る (これは歪んで現れる)。

    一般相対性理論も，これと同じことをしようとする。
    ただしこの場合は，全空間をミンコフスキー空間に埋め込むとはならない。
    一般相対性理論は，リーマン多様体を空間モデルとする。
    実際，，リーマン多様体の「地図」接続における座標変換の話が，一般相対性理論の「正規直交座標の相対性」の話になる。

    こういうわけで，一般相対性理論がわかるためには，リーマン多様体がわからねばならない。
    逆に，リーマン多様体をわかっていれば，一般相対性理論はわかりやすいものになる。


    「一般相対性理論」の「相対性」の意味は以上であるが，一般相対性理論にはもう一つ「重力場の理論」の意味づけがなされている。 これについても簡単に述べておく。

    一般相対性理論は，《Aが同定している重力が，Bにはどんなふうに見えるか──また，その逆》を，重力場方程式として示す。
    実際，《Aが同定している重力が，Bにはどんなふうに見えるか──また，その逆》を明らかにしようとすると，それは「一般相対性理論」でなければならない。
    どういうことか？
    一般相対性理論は，《Aの計量テンソルがBにはどんなふうに見えるか──また，その逆》の理論である。
    ニュートン力学の重力場テンソルは，ミンコフスキー計量の内容になる。
    そこで，《Aのミンコフスキー計量がBにはこんなふうに見える》の中に《Aの重力場テンソルがBにはこんなふうに見える》が含まれることになる。