Up 自転球体の経線上の直進にかかる加速度 作成: 2022-06-26
更新: 2022-08-18


    地球に対して用いる「北極」「北半球」「赤道」「経線」「緯線」のことばを,そっくり自転する球体に適用する。

    球の半径をR,自転の角速度をΩとする。

    北半球で真北に速度 \( {\bf v} \) で直進する。


    座標をつぎのようにとる。

    時間 ⊿t で,PからP′ に移動:


    P' の緯度を θ′ とすると, \[ \theta^{\prime} = \theta + \frac{ v}{R} \Delta t \\ \]

    ここで \[ \frac{sin( \theta^{\prime}) - sin(\theta)}{\Delta t} \\ = \frac{ 2 cos( ( \theta^{\prime} + \theta ) / 2 ) \ sin( ( \theta^{\prime} - \theta ) / 2 ) }{\Delta t} \\ = 2 cos( ( \theta^{\prime} + \theta ) / 2 ) ) ( (v/R) / 2) \frac{ sin( ( (v/R) \Delta t ) / 2 ) }{ (v/R) \Delta t ) / 2 } \\ \longrightarrow \frac{v}{R} cos(\theta) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \ \\ \ \\ \frac{ cos( \theta^{\prime}) - cos(\theta) ) }{\Delta t} \\ = \frac{ - 2 sin( ( \theta^{\prime} + \theta ) / 2 ) \ sin( ( \theta^{\prime} - \theta ) / 2 ) }{\Delta t} \\ = - 2 sin( ( \theta^{\prime} + \theta ) / 2 ) ) ( (v/R) / 2) \frac{ sin( ( (v/R) \Delta t ) / 2 ) }{ (v/R) \Delta t ) / 2 } \\ \longrightarrow - \frac{v}{R} sin(\theta) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \]


PとP′ では,直進の速度ベクトルが異なる。
また,球の自転による回転速度を,併せて考えることになる。

    これらの速度を成分で表示する。 \[ {\bf v} = ( - v\ sin(\theta) ,\ 0,\ v\ cos(\theta) ) \\ {\bf w} = ( 0,\ R cos(\theta) \Omega,\ 0 ) \\ \ \\ {\bf v'} = ( - v \ sin( \theta^{\prime}) \ cos( \Omega \Delta t ),\ - v \ sin( \theta^{\prime}) \ sin( \Omega \Delta t ),\ v\ cos( \theta^{\prime}) ) \\ {\bf w'} = ( - ( R cos(\theta^{\prime}) \Omega )\ sin( \Omega \Delta t ),\ ( R cos(\theta^{\prime}) \Omega )\ cos( \Omega \Delta t ),\ 0 ) \]
    北への直進軌道を保つには,\( \Delta t \) の間に,P での速度ベクトル \( {\bf v} + {\bf w} \) を P′ での速度ベクトル \( {\bf v'} + {\bf w'} \) に変えねばならない。

    この速度変化は, \[ ({\bf v'} + {\bf w'}) - ({\bf v} + {\bf w}) = ({\bf v'} - ({\bf v} ) + ( {\bf w'} - {\bf w} ) \\ \ \\ \] \( {\bf v'} - {\bf v} \) は, \[ {\bf v'} - {\bf v} \\ = ( - v \ sin( \theta^{\prime}) \ cos( \Omega \Delta t ),\ - v \ sin( \theta^{\prime}) \ sin( \Omega \Delta t ),\ v\ cos( \theta^{\prime}) ) \\ \quad - ( - v\ sin(\theta) ,\ 0,\ v\ cos(\theta) ) \\ \ \\ = v\ ( - sin( \theta^{\prime}) \ cos( \Omega \Delta t ) + sin(\theta),\ \\ \quad - sin( \theta^{\prime}) \ sin( \Omega \Delta t ),\ \\ \quad cos( \theta^{\prime}) - cos(\theta) ) \\ \ \\ \ \\ \frac{ - sin( \theta^{\prime}) \ cos( \Omega \Delta t ) + sin(\theta)}{\Delta t} \\ = \frac{- sin( \theta^{\prime}) \ cos( \Omega \Delta t ) + sin( \theta^{\prime}) - sin( \theta^{\prime}) + sin(\theta)}{\Delta t} \\ = sin( \theta^{\prime}) \Omega^2 \Delta t \frac{ 1 - cos( \Omega \Delta t ) }{(\Omega \Delta t)^2} \ \ \ - \frac{sin( \theta^{\prime}) - sin(\theta)}{\Delta t} \\ \ \\ \longrightarrow - \frac{v}{R} cos(\theta) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \ \\ \ \\ \frac{ - sin( \theta^{\prime}) \ sin( \Omega \Delta t ) }{\Delta t} \\ = - sin( \theta^{\prime})\ \Omega\ \frac{ sin( \Omega \Delta t ) }{\Omega \Delta t} \\ \ \\ \longrightarrow - \Omega sin( \theta ) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \ \\ \ \\ \frac{ cos( \theta^{\prime}) - cos(\theta) ) }{\Delta t} \\ \ \\ \longrightarrow - \frac{v}{R} sin(\theta) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \] よって, \[ {\bf v'} - {\bf v} \longrightarrow ( - \frac{v^2}{R} cos(\theta),\ - v \Omega sin( \theta ),\ - \frac{v^2}{R} sin(\theta) ) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]

    \( {\bf w'} - {\bf w} \) は, \[ {\bf w'} - {\bf w} \\ = ( - ( R cos(\theta^{\prime}) \Omega )\ sin( \Omega \Delta t ),\ ( R cos(\theta^{\prime}) \Omega )\ cos( \Omega \Delta t ) - R cos(\theta) \Omega,\ 0 ) \ \\ = R \Omega ( - \cos(\theta^{\prime})\ sin( \Omega \Delta t ),\ cos(\theta^{\prime})\ cos( \Omega \Delta t ) - cos(\theta),\ 0 ) \\ \ \\ \ \\ \frac{ - \cos(\theta^{\prime})\ sin( \Omega \Delta t ) }{\Delta t} \\ = - \cos(\theta^{\prime}) \Omega\ \frac{ sin( \Omega \Delta t ) }{\Omega \Delta t} \\ \ \\ \longrightarrow - \Omega cos( \theta ) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \ \\ \ \\ \frac{ cos(\theta^{\prime})\ cos( \Omega \Delta t ) - cos(\theta) }{\Delta t} \\ = \frac{ cos( \theta^{\prime}) \ cos( \Omega \Delta t ) - cos( \theta^{\prime}) + cos( \theta^{\prime}) - cos(\theta) }{\Delta t} \\ = - cos( \theta^{\prime}) \Omega^2 \Delta t \frac{ 1 - cos( \Omega \Delta t ) }{ (\Omega \Delta t)^2} \ \ \ + \frac{ cos( \theta^{\prime}) - cos(\theta) }{\Delta t} \\ \ \\ \longrightarrow - \frac{v}{R} sin(\theta) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \] よって, \[ {\bf w'} - {\bf w} \longrightarrow ( - R \Omega^2 cos( \theta ),\ - v \Omega sin(\theta),\ 0 ) \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]

    結局 \[ ({\bf v'} + {\bf w'}) - ({\bf v} + {\bf w}) = ({\bf v'} - {\bf v} ) + ( {\bf w'} - {\bf w} ) \\ \longrightarrow ( - \frac{v^2}{R} cos(\theta),\ - v \Omega sin( \theta ),\ - \frac{v^2}{R} sin(\theta) ) \\ \quad \quad \quad + ( - R \Omega^2 cos( \theta ),\ - v \Omega sin(\theta),\ 0 ) \\ \quad \quad = ( - \frac{v^2}{R} cos(\theta) - R \Omega^2 cos( \theta ),\ - 2 v \Omega sin( \theta ),\ - \frac{v^2}{R} sin(\theta) ) \\ \ \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]



    結論
    速度vの経線上直進軌道を保つ物体は,緯度θにおいてはつぎの加速をしなければならない:
      \[ \bigl( - \frac{v^2}{R}\ cos(\theta) ,\ - v \Omega\ sin(\theta),\ - \frac{v^2 }{R}\ sin( \theta) \bigr) \\ + ( - R \Omega^2\ cos(\theta), - v \Omega\ sin(\theta), 0 ) \\ = \bigl( - \bigl( \frac{v^2}{R} + R \Omega^2 \bigr)\ cos(\theta) , \ - 2 v \Omega\ sin(\theta),\ - \frac{v^2 }{R}\ sin( \theta) \bigr) \]

    逆に言うと,速度vの経線上直進軌道を保つ物体は,緯度θにおいてはつぎの慣性力加速度を受ける:
      \[ \bigl( \frac{v^2}{R}\ cos(\theta) ,\ v \Omega\ sin(\theta),\ - \frac{v^2 }{R}\ sin( \theta) \bigr) \\ + ( R \Omega^2\ cos(\theta), v \Omega\ sin(\theta), 0 ) \\ = \bigl( \bigl( \frac{v^2}{R} + R \Omega^2 \bigr)\ cos(\theta) , \ 2 v \Omega\ sin(\theta),\ \frac{v^2 }{R}\ sin( \theta) \bigr) \]


    「コリオリの力」(暫定)
    慣性加速度
      \[ \bigl( \frac{v^2}{R}\ cos(\theta) ,\ v \Omega\ sin(\theta),\ \frac{v^2 }{R}\ sin( \theta) \bigr) \\ \quad + ( R \Omega^2\ cos(\theta), v \Omega\ sin(\theta), 0 ) \\ \]
    の後の項は「遠心力加速度」にあたる。
    ここで前の項を, 「コリオリ力加速度」と見る。

    上記の \({\bf v}\) が質量 \( m \) の物体の速度であるとき,この物体は,遠心力と合わせて, \( m \) の値とコリオリ力加速度の値の積を値とする慣性力を被る。
    この慣性力が「コリオリ力」ということになる。


    定理
    自転球体上の速度には,これの方向と直角にコリオリ力加速度がかかる。

      証明: \[ ( - v\ sin(\theta) ,\ 0,\ v\ cos(\theta) ) \\ \cdot \bigl( \frac{v^2}{R}\ cos(\theta) ,\ v \Omega\ sin(\theta),\ \frac{v^2 }{R}\ sin( \theta) \bigr) \\ = - \frac{v^3}{R}\ \ sin(\theta)\ cos( \theta ) + 0 + \frac{v^3 }{R}\ \ cos(\theta)\ sin( \theta) \\ = 0 \]