Up 自転円板上の直進 一般にはたらく加速度 作成: 2022-08-01
更新: 2022-08-18


    ここに,点Oを中心にして角速度 Ωラジアン/時間単位 で自転する円板がある:

    そして,この円板上の直線軌道を速さv距離単位/時間単位 で移動する物体があり,いま点Pにある:

    さて,この物体にはどんな加速度がかかることになるか?
    以下,この加速度を求める。


    時間 \( \Delta t \) 時間単位 で,物体はつぎのように移動することになる:

    座標をつぎのようにとる:



    角度 \( \theta,\ a, \ b \) をつぎのようにおく:
    このとき,つぎが成り立つ:
    \[ \frac{\overline{ OP'} - x }{ \Delta t} \ \ \ \longrightarrow \ - v\ cos( \theta ) \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \\ \ \\ \frac{ 1 - cos( a ) }{\Delta t } \ \ \ \longrightarrow \ 0 \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \\ \ \\ \frac{ sin( a ) }{\Delta t } \ \ \longrightarrow \ \frac{ v\ sin(\theta) }{x} \ \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \]

      証明:
      \( \angle OP''P' \) の角度が \( \theta \) なので, \[ ( \pi / 2 - ( \Omega \Delta t + a ) ) + b + \theta = \pi \\ \ \\ b = \pi / 2 - ( \theta - \Omega \Delta t - a ) \\ \ \\ cos( b ) = sin (\theta - \Omega \Delta t - a ) \\ \quad = sin(\theta - \Omega \Delta t) cos(a) - cos(\theta - \Omega \Delta t) sin(a) \\ \quad = ( sin(\theta) cos(\Omega \Delta t) - cos(\theta) sin(\Omega \Delta t) ) cos(a) \\ \quad \quad - ( cos(\theta)cos(\Omega \Delta t) + sin(\theta) sin( \Omega \Delta t ) ) sin(a) \\ \ \\ sin( b ) = cos ( \theta - \Omega \Delta t - a ) \\ \quad = cos(\theta - \Omega \Delta t) cos(a) + sin(\theta - \Omega \Delta t) sin(a) \\ \quad = ( cos(\theta) cos(\Omega \Delta t) + sin(\theta) sin(\Omega \Delta t) ) cos(a) \\ \quad \quad + ( sin(\theta)cos(\Omega \Delta t) - cos(\theta) sin( \Omega \Delta t ) ) sin(a) \]
      \( P'' \) の座標は, \[ ( x\ cos( \Omega \Delta t ), x\ sin( \Omega \Delta t ) ) \] \( P' \) の座標は, \[ ( x\ cos( \Omega \Delta t ) - v\ \Delta t sin( b ), \\ \ \ x\ sin( \Omega \Delta t ) + v\ \Delta t cos( b ) ) \] \( \overline{ OP'} \) は, \[ \overline{ OP'}^2 \\ = ( x\ cos( \Omega \Delta t ) - v\ \Delta t sin( b ) )^2 \\ \quad + ( x\ sin( \Omega \Delta t ) + v\ \Delta t cos( b ) )^2 \\ = x^2 + v^2 \Delta t^2 \\ \quad - 2 x v \Delta t\ ( sin( b ) cos( \Omega \Delta t ) - cos( b ) sin( \Omega \Delta t ) ) \\ = x^2 + v^2 \Delta t^2 - 2 x v \Delta t\ sin( b - \Omega \Delta t ) \\ = x^2 + v^2 \Delta t^2 - 2 x v \Delta t\ sin( \pi / 2 - ( \theta - a ) ) \\ = x^2 + v^2 \Delta t^2 - 2 x v \Delta t\ cos( \theta - a ) ) \] よって, \[ \frac{\overline{ OP'}^2 - x^2 }{ \Delta t} \\ = - 2 x v\ cos( \theta - a ) + v^2 \Delta t \ \\ \ \\ \longrightarrow \ - 2 x v\ cos( \theta ) \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \\ \ \\ \ \\ \frac{\overline{ OP'} - x }{ \Delta t} \\ = \frac{\overline{ OP'}^2 - x^2 }{ \Delta t} \ \ \frac{ 1 }{\overline{ OP'} + x } \ \\ \ \\ \longrightarrow \ - v\ cos( \theta ) \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \] また, \[ \frac{ 1 - cos( a ) }{\Delta t } \\ \ \\ = \frac{1}{\overline{ OP'} \Delta t } \bigl( \overline{ OP'} - \overline{ OP'} cos( a ) \bigr) \\ \ \\ = \frac{1}{\overline{ OP'} \Delta t } \bigl( \overline{ OP'} - ( x - v \Delta t cos( \theta ) ) \bigr) \\ \ \\ = \frac{1}{\overline{ OP'}} \bigl( \frac{ \overline{ OP'} - x }{\Delta t} + v cos( \theta ) \bigr) \\ \ \\ \longrightarrow \ \frac{ - v\ cos( \theta ) + v cos( \theta ) }{ x } \ \ \ \ = 0 \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \]
      \[ \frac{ sin( a ) }{\Delta t } \\ \ \\ = \frac{1}{\overline{ OP'} \Delta t } \overline{ OP'} sin( a ) \\ \ \\ = \frac{1}{\overline{ OP'} \Delta t } v \Delta t sin(\theta) \\ \ \\ \longrightarrow \ \frac{ v\ sin(\theta) }{x} \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \] [証明終り]




    \( P \) と \( P' \) では,直進の速度ベクトル \( {\bf v},\ {\bf v'} \) と併せて,円板自転による回転速度 \( {\bf w},\ {\bf w'} \) を考えることになる:

    直進軌道を保つには,\( \Delta t \) の間に,P での速度ベクトル \( {\bf v} + {\bf w} \) を P′ での速度ベクトル \({\bf v'} + {\bf w'} \) に変えねばならない。
    この速度変化は, \[ ({\bf v'} + {\bf w'}) - ({\bf v} + {\bf w}) = ({\bf v'} - {\bf v} ) + ( {\bf w'} - {\bf w} ) \] これが,求めようとする加速度になる。


    \( {\bf v'} - {\bf v} \) は, \[ {\bf v} = v( - cos( \theta ),\ sin( \theta ) ) \\ \ \\ \begin{align} {\bf v'} =\ & v ( - sin( b ),\ cos( b ) ) \\ \ \\ =\ & v ( - ( cos(\theta) cos(\Omega \Delta t) + sin(\theta) sin(\Omega \Delta t) ) cos(a) \\ & \quad + ( sin(\theta)cos(\Omega \Delta t) - cos(\theta) sin( \Omega \Delta t ) ) sin(a) ), \\ & \quad ( sin(\theta) cos(\Omega \Delta t) - cos(\theta) sin(\Omega \Delta t) ) cos(a) \\ & \quad - ( cos(\theta)cos(\Omega \Delta t) + sin(\theta) sin( \Omega \Delta t ) ) sin(a) ) \end{align} \]
    \[ \begin{align} \frac{ {\bf v'} - {\bf v} }{v} =\ & ( - ( cos(\theta) cos(\Omega \Delta t) + sin(\theta) sin(\Omega \Delta t) ) cos(a) \\ & \quad + ( sin(\theta)cos(\Omega \Delta t) - cos(\theta) sin( \Omega \Delta t ) ) sin(a) ) + cos( \theta) , \\ \ \\ & \quad ( sin(\theta) cos(\Omega \Delta t) - cos(\theta) sin(\Omega \Delta t) ) cos(a) \\ & \quad - ( cos(\theta)cos(\Omega \Delta t) + sin(\theta) sin( \Omega \Delta t ) ) sin(a) - sin( \theta ) \ ) \\ \ \\ =\ & ( cos(\theta) cos(a) ( 1 - cos(\Omega \Delta t) ) + cos(\theta) ( 1 - cos(a)) \\ & \quad - sin(\theta) cos(a) \Omega sin(\Omega \Delta t) ) \\ & \quad - sin(\theta) sin(a) ( 1 - cos(\Omega \Delta t) ) + sin(\theta) sin(a) \\ & \quad - cos(\theta) sin(a) sin( \Omega \Delta t ) ), \\ \ \\ & \quad - sin( \theta ) cos(a) ( 1 - cos(\Omega \Delta t ) - sin(\theta) ( 1 - cos(a) ) \\ & \quad - cos(\theta) cos(a) sin(\Omega \Delta t) \\ & \quad + cos(\theta) sin(a) ( 1 - cos(\Omega \Delta t) ) - cos(\theta) sin(a) \\ & \quad -sin(\theta) sin(a) sin( \Omega \Delta t ) \ ) \end{align} \ \\ \ \\ \]
    \[ \begin{align} \frac{1}{\Delta t} \frac{ {\bf v'} - {\bf v} }{v} =\ & ( cos(\theta) cos(a) \frac{1 - cos(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \ \ \ + cos(\theta) \frac{1 - cos(a)}{\Delta t} \\ & \quad - sin(\theta) cos(a) \frac{ sin(\Omega \Delta t)}{\Delta t} \\ & \quad - sin(\theta) sin(a) \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t)}{\Delta t} \ \ \ + sin(\theta) sin(a) \\ & \quad - cos(\theta) sin(a) \frac{sin( \Omega \Delta t )}{\Delta t}\ \ \ , \\ \ \\ & \quad - sin( \theta ) cos(a) \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t }{\Delta t} \ \ \ - sin(\theta) \frac{ 1 - cos(a)}{\Delta t} \\ & \quad - cos(\theta) cos(a) \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \\ & \quad + cos(\theta) sin(a) \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \ \ \ - cos(\theta) sin(a) \\ & \quad -sin(\theta) sin(a) \frac{sin( \Omega \Delta t ) }{\Delta t} \ \ \ ) \\ \ \\ \ \\ =\ & ( cos(\theta) cos(a) \Omega^2 \Delta t \frac{1 - cos(\Omega \Delta t) }{(\Omega \Delta t)^2} \ \ \ + cos(\theta) \frac{1 - cos(a)}{\Delta t} \\ & \quad - sin(\theta) cos(a) \Omega \frac{ sin(\Omega \Delta t)}{\Omega \Delta t} \\ & \quad - sin(\theta) sin(a) \Omega^2 \Delta t\frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t)}{(\Omega \Delta t)^2} \ \ \ + sin(\theta) sin(a) \\ & \quad - cos(\theta) sin(a) \Omega \frac{sin( \Omega \Delta t )}{\Omega \Delta t}\ \ \ , \\ \ \\ & \quad - sin( \theta ) cos(a) \Omega^2 \Delta t \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t }{(\Omega \Delta t)^2} \ \ \ - sin(\theta) \frac{ 1 - cos(a)}{\Delta t} \\ & \quad - cos(\theta) cos(a) \Omega \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Omega \Delta t} \\ & \quad + cos(\theta) sin(a) \Omega^2 \Delta t \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t) }{(\Omega \Delta t)^2} \ \ \ - cos(\theta) sin(a) \\ & \quad -sin(\theta) sin(a) \Omega \frac{sin( \Omega \Delta t ) }{\Omega \Delta t} \ \ \ ) \end{align} \] ここで
      \[ \frac{ 1 - cos(a)}{\Delta t} \longrightarrow 0 \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \frac{ sin(a)}{\Delta t} \longrightarrow \frac{ v\ sin(\theta) }{x} \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ sin(a) \longrightarrow 0 \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ cos(a) \longrightarrow 1 \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]
    なので, \[ \frac{ {\bf v'} - {\bf v} }{v} \longrightarrow ( - sin(\theta) \Omega,\ - cos(\theta) \Omega ) \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \] 結局, \[ {\bf v'} - {\bf v} \longrightarrow ( - v \Omega\ sin(\theta),\ - v \Omega\ cos(\theta) ) \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]

    \( {\bf w'} - {\bf w} \) は, \[ {\bf w} = ( 0,\ x \Omega ) \\ \ \\ \begin{align} {\bf w'} =\ & \overline{ OP'} \Omega ( - sin( \Omega \Delta t + a ),\ cos( \Omega \Delta t + a ) ) \\ \ \\ =\ & \overline{ OP'} \Omega ( - ( sin(\Omega \Delta t) cos(a) + cos(\Omega \Delta t) sin(a) ), \\ & \quad \quad cos(\Omega \Delta t) cos(a) - sin(\Omega \Delta t) sin(a) ) \end{align} \]

    \[ \begin{align} \frac{{\bf w'} - {\bf w}}{\overline{ OP'} \Omega} =\ & ( - sin(\Omega \Delta t) cos(a) - cos(\Omega \Delta t) sin(a) , \\ & \quad cos(\Omega \Delta t) cos(a) - sin(\Omega \Delta t) sin(a) - \frac{ x \Omega}{\overline{ OP'} \Omega} ) \\ \ \\ =\ & ( - sin(\Omega \Delta t) cos(a) +( 1 - cos(\Omega \Delta t) ) sin(a) - sin(a), \\ & \quad - ( 1 - cos(\Omega \Delta t) ) cos(a) - ( 1 - cos(a) ) + 1 \\ & \quad - sin(\Omega \Delta t) sin(a) - \frac{ x }{\overline{ OP'} } ) \\ \ \\ =\ & ( - sin(\Omega \Delta t) cos(a) +( 1 - cos(\Omega \Delta t) ) sin(a) - sin(a), \\ & \quad - ( 1 - cos(\Omega \Delta t) ) cos(a) - ( 1 - cos(a) ) \\ & \quad - sin(\Omega \Delta t) sin(a) + \frac{1}{ \overline{ OP'} } ( \overline{ OP'} - x) ) \end{align} \]
    \[ \begin{align} \frac{1}{\Delta t} \frac{ {\bf w'} - {\bf w} }{\overline{ OP'} \Omega} =\ & ( - \Omega \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Omega \Delta t} \ \ cos(a) + \Omega^2 \Delta t \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t) }{(\Omega \Delta t)^2}\ \ \ sin(a) - \frac{ sin(a)}{\Delta t}, \\ \ \\ & \ \ - \Omega^2 \Delta t \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t) }{(\Omega \Delta t)^2}\ \ cos(a) - \frac{ 1 - cos(a) }{\Delta t} \\ & \ \ - \Omega \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Omega \Delta t}\ sin(a) + \frac{1}{ \overline{ OP'} } \frac{ \overline{ OP'} - x}{\Delta t} \ \ \ ) \end{align} \] ここで
      \[ \frac{ 1 - cos(a)}{\Delta t} \longrightarrow 0 \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \frac{ sin(a)}{\Delta t} \longrightarrow \frac{ v\ sin(\theta) }{x} \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ sin(a) \longrightarrow 0 \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ cos(a) \longrightarrow 1 \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \\ \frac{\overline{ OP'} - x }{ \Delta t} \longrightarrow \ - v\ cos( \theta ) \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \]
    なので, \[ \frac{ {\bf w'} - {\bf w} }{\overline{ OP'} \Omega} \longrightarrow \bigl( - \Omega - \frac{ v\ sin(\theta) }{x},\ - \frac{ v\ cos(\theta) }{x} \bigr) \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \] 結局, \[ {\bf w'} - {\bf w} \longrightarrow ( - x \Omega^2 - v \Omega sin(\theta),\ - v \Omega\ cos(\theta) ) \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]

    よって, \[ ({\bf v'} + {\bf w'}) - ({\bf v} + {\bf w}) = ({\bf v'} - {\bf v} ) + ( {\bf w'} - {\bf w} ) \\ \ \\ \longrightarrow ( - v \Omega\ sin(\theta),\ - v \Omega\ cos(\theta) ) \\ \quad \quad + ( - x \Omega - v \Omega sin(\theta),\ - v \Omega\ cos(\theta) ) \\ \quad \quad = ( - x \Omega^2 - 2 v \Omega sin(\theta),\ - 2 v \Omega\ cos(\theta) ) \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]
    結論
    直進を保つためには,つぎの加速をしなければならない:
      \( ( - x \Omega^2 - 2 v \Omega sin(\theta),\ - 2 v \Omega\ cos(\theta) ) \)

    逆に言うと,

    定理
    角速度 \( \Omega \) で自転する円板上の速度 \( {\bf v}\ ( |{\bf v}| = v ) \) は, つぎの状態において慣性加速度
      \[ ( x \Omega^2 + 2 v \Omega sin(\theta),\ 2 v \Omega\ cos(\theta) ) \]
    を被る:


    定義 :「コリオリの力」
    慣性加速度 \( ( x \Omega^2 + 2 v \Omega sin(\theta),\ 2 v \Omega\ cos(\theta) ) \) を \[ ( x \Omega^2, 0 ) + ( 2 v \Omega sin(\theta),\ 2 v \Omega\ cos(\theta) ) \] に分けるとき,前の項は「遠心力加速度」にあたる。
    ここで後ろの項を, 「コリオリ力加速度」と定める。

    上記の \({\bf v}\) が質量 \( m \) の物体の速度であるとき,この物体は \( m \) の値とコリオリ力加速度の値の積を値とする慣性力を被る。
    この慣性力を, 「コリオリ力」と呼ぶ。


    定理
    コリオリ力加速度の大きさは,\( 2 v \Omega \)

      実際, \( (2 v \Omega sin(\theta))^2 + (2 v \Omega cos(\theta))^2 = (2 v \Omega)^2 \)


    定理
    自転円板上の速度には,これの方向と直角にコリオリ力加速度がかかる。

      実際,\( |{\bf v'}| = |{\bf v}| ( = v ) \) であるから,\( {\bf v} \) を \( {\bf v'} \) に変える加速度は \( {\bf v} \) に直角でなければならない。
      計算による証明は: \[ ( - v cos( \theta ), v sin( \theta ) ) \cdot ( 2 v \Omega sin(\theta),\ 2 v \Omega\ cos(\theta) ) \\ = - 2 v^2 \Omega cos( \theta ) sin(\theta ) + 2 v^2 \Omega sin(\theta ) cos( \theta ) \\ = 0 \]



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