Up コマはなぜ倒れないか 作成: 2022-04-12
更新: 2022-04-13


    「コマはなぜ倒れない?」の問いにどう答えるか?
    説明をネット検索してみると,どれもぐちゃぐちゃしていて (小難しいことを言っていて),ついていけない。
    というわけで,説明を改めてつくってみることにする。


    コマの運動は,「自転」である。
    英語で言うと, "spin"。

    自転は,半直線の運動とみなされる。
    半直線の端点が「自転の支点」というわけである。
     註: 自転(スピン)は,「他のタイプの運動から導かれる運動」のように考えるものではなく,固有の運動として考えるものである。


    直進運動に「速度」を導入するように,自転運動に「自転(スピン)速度」を導入する。
    自転速度は,つぎの3つによって表現される:
    1. 半直線の向き (支点に対する無限遠点の方向)
    2. 自転の大きさ (単位時間あたり何回転)
    3. 自転方向 (右回りと左回り)
    そしてこの表現を以て,自転速度はベクトル量になる。

    このベクトルを,つぎのように表示する:

    特に,半直線の向きと自転の大きさが同じで,自転方向が逆の2つの自転速度は,互いに逆ベクトルである:


    速度が定義されると,つぎに加速度が定義される。
    即ち,自転速度の変化率 (「単位時間あたり何回転の変化」) として,自転(スピン)加速度が定義される。


    以上を準備したところで,「コマがなぜ倒れないか?」に入る。

    コマの軸の2端点に,名前をつけよう:
      接地側を「足」,反対側を「頭」

    自転しているコマは,傾いても倒れない。
    そのかわり,頭は円運動している。
    「コマはなぜ倒れないか?」の問いは,「コマの頭はなぜ円運動するか?」の問いに置き換わる。


    時点tのコマの自転速度を,(t) で表す。
    時点tのコマは,つぎのようになっている:

    ここでは自転加速度──「単位時間に変化する回転数はa」。
    これは,<倒れる>から生じる:
      <倒れる>は,つぎの半直線の自転加速運動とみなされる:
        (1) 端点が,コマの足
        (2) 方向が,倒れる面に垂直

    <倒れる>は,時間 dt で自転速度が dt 増える運動である。
    そこで,時点tの自転速度 (t) と自転速度 dt の合成は,時点 t+ dt の自転速度 (t+ dt ) を表す。
    そして関数をtで積分すると,コマの頭の円運動になるというわけである。

    また,v(t) と dt から v(t+dt) が合成される図は,つぎのことも示している:
      《コマの自転速度が大きいほど,頭の円運動はゆっくりになる》


    残るは,aの計算。
    aは,つぎの3つで決まる:
    1. コマの軸の傾きθ
    2. 足から重心 (質点) までの距離L
    3. コマの質量 m

    実際,重力加速度の大きさをgとすると,コマの質点にはつぎの力が作用している:
    これは,重心の<円の接線方向加速度>が g cosθ ──「単位時間あたり速度の変化が g cosθ」──ということ。

    「速度 g cosθ」とは,「単位時間あたり移動距離が g cosθ」。
    円上の移動距離 g cosθ は,g cosθ/(2πL) 回転に相当。
    よって,「単位時間あたり移動距離が g cosθ」は,「単位時間あたり回転数が g cosθ/(2πL)」に相当。
    よって,「単位時間あたり速度の変化が g cosθ」は,「単位時間あたり回転数の変化が g cosθ/(2πL)」に相当。
    結局,
        a = g cosθ/(2πL)