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波動関数は，ド・ブロイ波 (物質波) の表現

作成: 2023-11-20 更新: 2023-11-20

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波動関数は， \[ \begin{align} \psi (x, t) & = e^{ i\ \frac { 2 \pi }{ h }\ ( p x - E t ) } \\ & = e^{ i\ 2 \pi \frac { p }{ h }\ x }\ e^{ - i\ 2 \pi \frac { E }{ h }\ t } \\ \end{align} \] これより， \[ \begin{align} & \psi (x, t) = \psi (x + \lambda , t) \\ \Longrightarrow\ \ & e^{ i\ 2 \pi \frac { p }{ h }\ x }\ e^{ - i\ 2 \pi \frac { E }{ h }\ t } = e^{ i\ 2 \pi \frac { p }{ h }\ ( x + \lambda ) }\ e^{ - i\ 2 \pi \frac { E }{ h }\ t } \\ \Longrightarrow\ \ & e^{ i\ 2 \pi \frac { p }{ h }\ \lambda } = 1 \\ \Longrightarrow\ \ & 2 \pi \frac { p }{ h }\ \lambda = 2 \pi\ n \quad ( n = \pm 1, \pm 2, \cdots\ ) \\ \Longrightarrow\ \ & \lambda = \frac{h}{p}\ n \quad ( n = \pm 1, \pm 2, \cdots\ ) \\ \ \ \\ & \psi (x, t) = \psi (x , t + T) \\ \Longrightarrow\ \ & e^{ i\ 2 \pi \frac { p }{ h }\ x }\ e^{ - i\ 2 \pi \frac { E }{ h }\ t } = e^{ i\ 2 \pi \frac { p }{ h }\ x }\ e^{ - i\ 2 \pi \frac { E }{ h }\ ( t + T ) } \\ \Longrightarrow\ \ & e^{- i\ 2 \pi \frac { E }{ h }\ T } = 1 \\ \Longrightarrow\ \ & 2 \pi \frac { E }{ h }\ T = 2 \pi\ n \quad ( n = \pm 1, \pm 2, \cdots\ ) \\ \Longrightarrow\ \ & T = \frac{h}{E}\ n \quad ( n = \pm 1, \pm 2, \cdots\ ) \\ \end{align} \] これは， \[ \lambda = \frac{h}{p}, \ \ T = \frac{h}{E} \] が，波動 \( \psi \) のそれぞれ波長と周期であることを示している。 また，周期 \( T \) を振動数 \[ \nu = \frac{1}{T} \] におきかえると， \[ E = h \nu \] これは，プランクによって見出された「エネルギー量子──エネルギーがとびとびの値になる」の表現になっている。