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波動方程式のｉの意味

作成: 2019-08-24 更新: 2019-08-24

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シュレーディンガー方程式 \[ \big( i \hbar \frac {\partial} {\partial t} \big) \, \psi = \big( \frac {1} {2m} \big( - \hbar^2 \frac {\partial^2}{\partial x^2} \big) \big) \, \psi \] には，\( {\it i} \) が含まれている。 複素数のことを「虚の数──２次方程式がつねに解をもてるよう無理やり導入した数」と学校で教えられた者は，この \( {\it i} \) に躓くことになる。 「数」は，「ベクトルのスカラー」がこれの意味である： 直線ベクトルのスカラーが，実数 平面ベクトルのスカラーが，複素数 空間ベクトルのスカラーが，四元数 ──といったぐあい。 そこで，シュレーディンガー方程式の \( {\it i} \) は，探究の対象に潜在する２次元実ベクトル空間構造を示唆していることになる。 \( \psi \) (「波動関数」) は， \[ \psi (x, t) = cos \big( \frac {p}{\hbar} x - \frac {E}{\hbar} t \big) + i \, sin \big( \frac {p}{\hbar} x - \frac {E}{\hbar} t \big) \] がこれの最も簡単な解であり，そしてこれは， \[ \qquad \frac {px - Et}{\hbar} \; [ラジアン] \] の回転である。 ３次元空間におけるシュレーディンガー方程式は，つぎのようになる： \[ \big( i \hbar \frac {\partial} {\partial t} \big) \, \psi = \big( \frac {1} {2m} \big( - \hbar^2 \big( \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2}{\partial z^2} \big) \big) \big) \, \psi \] \( \psi \) に対しては，ボルンの「＜存在確率＞密度」解釈が成り立つ： \( t \) を固定したとき，\( (x, y, z) \) の近傍の微小体積 (直方体) \( dV = dx \,dy \,dx \) 内に粒子が見出される確率は \( | \psi (x, y, z, t) |^2 \; dx \,dy \,dx \) \( (x, t )\) 変数の \[ \psi (x, t) = cos \big( \frac {p}{\hbar} x - \frac {E}{\hbar} t \big) + i \, sin \big( \frac {p}{\hbar} x - \frac {E}{\hbar} t \big) \] だと，「\(ｔ\) を固定したときの \( x \) における＜存在確率＞密度」になるが，これはつねに１である： \[ \quad | \psi (x, t) |^2 = 1 \] そこで波動関数 \( \psi \) に対する見方であるが，これは＜存在位相＞ということになる。 ──絶対値２乗が＜存在確率＞密度になるところの，＜存在位相＞。