| Up | 移動方向に対する加速度の方向 | 作成: 2022-10-12 更新: 2022-10-12 |
\( ( P,{\bf{v}} ) \)-座標系で，速度 \( {\bf{v}} \) の座標は， \[ v_x = - v\ sin( P_a ) \\ v_y = v\ cos( S_a )\ cos( P_a ) \\ v_z = v\ sin( S_a )\ cos( P_a ) \\ \] そして \( ( P,\ {\bf{v}} ) \) に対応する加速度 \( {\bf{a}} \) の座標は， \[ a_x = ( - \frac{v^2}{R} + R \Omega^2 )\ cos( P_a ), \\ a_y = ( - \frac{v^2}{R} + R \Omega^2 )\ cos( S_a )\ sin( P_a ), \\ a_z = - \frac{v^2}{R}\ sin( S_a )\ sin( P_a ) \\ \] \( {\bf{v}} \cdot {\bf{a}} \) は： \[ {\bf{v}} \cdot {\bf{a}} \\ = - v\ sin( P_a )\ ( - \frac{v^2}{R}\ cos( P_a ) + R \Omega^2 \ cos( P_a ) )\\ + v\ cos( S_a )\ cos( P_a )\ ( - \frac{v^2}{R}\ cos( S_a )\ sin( P_a ) + R \Omega^2 \ cos(S_a)\ sin( P_a ) ) \\ + v\ sin( S_a )\ cos( P_a )\ ( - \frac{v^2}{R}\ sin( S_a )\ sin( P_a ) ) \\ \ \\ \ \\ = \frac{v^3}{R}\ cos( P_a )\ sin( P_a ) - v \ R \Omega^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ - \frac{v^3}{R}\ cos( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) + v\ R \Omega^2\ cos( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ - \frac{v^3}{R}\ sin( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ \ \\ \ \\ = \frac{v^3}{R}\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ - v \ R \Omega^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) + v\ R \Omega^2\ cos( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ - \frac{v^3}{R}\ cos( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) - \frac{v^3}{R}\ sin( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ \ \\ \ \\ = \frac{v^3}{R}\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ - v\ R \Omega^2\ sin( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ - \frac{v^3}{R}\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ \ \\ \ \\ = - v\ R \Omega^2\ sin( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ \] \( | {\bf{a}} | \) は： \[ | {\bf{a}} |^2 = ( - \frac{v^2}{R} + R \Omega^2 )^2\ ( 1 - sin( S_a )^2\ sin( P_a )^2 ) + ( \frac{v^2}{R} )^2\ sin( S_a )^2\ sin( P_a )^2 \] というわけで， \[ \theta = cos^{-1}( \frac{ A }{ B } ) \\ \ \\ A = - R \Omega^2\ sin( S_a )^2\ cos( P_a )\ sin( P_a ) \\ B = \sqrt{ ( - \frac{v^2}{R} + R \Omega^2 )^2\ ( 1 - sin( S_a )^2\ sin( P_a )^2 ) + ( \frac{v^2}{R} )^2\ sin( S_a )^2\ sin( P_a )^2 } \] |