Up 移動の \( \Delta t \) 後の位置 作成: 2022-09-15
更新: 2022-10-07

    \( ( P, \bf{v} ) \) から \( \Delta t \) 後の位置 \( P' \) は，\( ( P, \bf{v} ) \)-大円 \( S \) 上を \( \bf{v} \) の方向に距離 \( | {\bf{v}} |\ \Delta t \) だけ進んだところである。


    つぎのようにおく： \[ P = ( P_x,\ P_y,\ P_z ) \\ v = | {\bf{v}} | \\ \ \\ P' = ( P'_x,\ P'_y,\ P'_z ) \\ \]
    以下，\( P'_x,\ P'_y,\ P'_z \) を求める。


    \( P'_x,\ P'_y,\ P'_z \) は，つぎの図に示される：

    ここで回転角 \( S_a,\ P_a,\ \theta \) をつぎのようにとる ：

    このとき \[ v\ \Delta t = R\ \theta \] \[ \begin{align} P'_x = & R\ cos( P_a + \theta ) \\ = & R\ ( cos( P_a )\ cos( \theta ) - sin( P_a )\ sin( \theta ) ) \\ = & R\ \bigl( cos( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) - sin( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \bigr) \end{align} \] そして，図
    は，つぎの関係を示す： \[ P'_y = ( R\ sin( P_a + \theta ) )\ cos( S_a ) \\ P'_z = ( R\ sin( P_a + \theta ) )\ sin( S_a ) \\ \] よって， \[ \begin{align} P'_y & = R\ ( sin( P_a )\ cos( \theta ) + cos( P_a )\ sin( \theta ) )\ cos( S_a ) \\ & = R\ cos( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)\ \\ P'_z & = R\ sin( S_a )\ \bigl( sin( P_a )\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + cos( P_a )\ sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)\ \\ \end{align} \]

    \( cos( S_a ),\ sin( S_a ),\ cos( P_a ),\ sin( P_a ) \) は，\( P \) の座標によってつぎのように表された：

    (1) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0,\ v_x = v_z = 0 \) の場合
    　　　── \( S \) が赤道の場合
      \[ cos( S_a ) = 1 \\ sin( S_a ) = 0 \\ cos( P_a ) = 1 \\ sin( P_a ) = 0 \\ \]
    (2) \( P_y = 0,\ v_y = 0 \) の場合
    　　　── \( S \) が経線の場合
      \[ cos( S_a ) = 0 \\ sin( S_a ) = \begin{cases} 1 & ( P_z > 0 ) \\ -1 & ( P_z < 0 ) \\ \end{cases} \\ cos( P_a ) = \frac{ P_x }{ R } \\ sin( P_a ) = \frac{ P_z }{ R } \\ \]
    (3) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0 \) の場合
    　　　── \( P \) が赤道上にある場合
      \[ cos( S_a ) = R\ \frac{ v_y }{ v } \\ sin( S_a ) = R\ \frac{ v_z }{ v } \\ cos( P_a ) = 1 \\ sin( P_a ) = 0 \\ \]
    (4) 上のいずれでもない場合
      \[ cos( S_a ) = \frac{ P_y }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } } \\ sin( S_a ) = \frac{ P_z }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } } \\ cos( P_a ) = \frac{P_x }{R } \\ sin( P_a ) = \frac{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }{ R } \\ \]


    よって，つぎのようになる：


    (1) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0,\ v_x = v_z = 0 \) の場合
    　　　── \( S \) が赤道の場合
      \[ P'_x = R\ cos\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\ P'_y = R\ sin\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\ P'_z = 0 \]

    (2) \( P_y = 0,\ v_y = 0 \) の場合
    　　　── \( S \) が経線の場合
      \[ P'_x = P_x\ cos\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) - P_z\ sin\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\ P'_y = 0 \\ P'_z = P_z\ cos\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) + P_x\ sin\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \]

    (3) \( P_x = R,\ P_y = P_z = 0 \) の場合
    　　　── \( P \) が赤道上にある場合
      \[ P'_x = R\ cos( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \\ P'_y = R\ \frac{ v_y }{ v }\ \bigl( sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)\ \\ P'_z = R\ \frac{ v_z }{ v }\ \bigl( sin( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) \bigr)\ \\ \]

    (4) 上のいずれでもない場合
      \[ P'_x = P_x\ cos\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) - \sqrt{ R^2 - P_x^2 }\ sin\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\ P'_y = P_y\ cos\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + \frac{ P_x\ P_y }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }\ sin\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\ P'_z = P_z\ cos\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } ) + \frac{ P_z\ P_x }{ \sqrt{ R^2 - P_x^2 } }\ sin\bigl( \frac{ v\ \Delta t }{ R } \bigr) \\ \]