Up 移動の \( \Delta t \) 後の速度 作成: 2022-10-02
更新: 2022-10-07

    \( \Delta t \) 後の位置 \( P' = ( P'_x,\ P'_y,\ P'_z ) \) を，既に求めた。
    ここではこれに続いて，\( \Delta t \) 後の速度 \( {\bf{v}}' = ( v'_x,\ v'_y,\ v'_z ) \) を求める。

    速度 \[ {\bf{v}} = ( v_x,\ v_y,\ v_z ) \] は，加速度 \[ {\bf{a}} = ( a_x,\ a_y,\ a_z ) \] により，\( \Delta t \) 後につぎの速度に変わる： \[ {\bf{v}}' = ( v'_x,\ v'_y,\ v'_z ) \\ \ \\ v'_x = v_x + a_x\ \Delta t \\ v'_y = v_y + a_y\ \Delta t \\ v'_z = v_z + a_z\ \Delta t \\ \]
    これは，そっくり移動速度とはならない。
    \( \Delta t \) 後の位置 \( P' = ( P'_x,\ P'_y,\ P'_z ) \) の接平面にこれを投影した \( {\bf{v}}_1 = ( {v_1}_x,\ {v_1}_y,\ {v_1}_z ) \) が，移動の実効速度になる。


    この投影は，一般につぎのように計算する：

    つぎの場合を考える：


    ここで，\( \bf{a} \) は，平面の法線ベクトル (単位ベクトル)。
    \( \bf{u}' \) は，\( \bf{u} \) の平面への投影。

    このとき，
      \[ \bf{u}' = \bf{u}\ cos( \theta ) \\ \]
    そして \( \theta \) は，
      \[ sin( \theta ) = cos( \frac{ \pi }{ 2 } - \theta ) = \frac{ \bf{a} \cdot \bf{u} }{ | \bf{a} |\ | \bf{u} | } = \frac{ \bf{a} \cdot \bf{u} }{ | \bf{u} | } \\ \]
    よって，
      \[ {\bf{a}} = ( a_x,\ a_y,\ a_z ) \\ {\bf{u}} = ( u_x,\ u_y,\ u_z ) \\ {\bf{u}}' = ( u'_x,\ u'_y,\ u'_z ) \]
    とすると，
      \[ \theta = sin^{-1}( \frac{ a_x\ u_x + a_y\ u_y + a_z\ u_z }{ \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 } } ) \\ u'_x = u_x\ cos( \theta ) \\ u'_y = u_y\ cos( \theta ) \\ u'_z = u_z\ cos( \theta ) \\ \]

    点 \( P' \) の接平面の法線ベクトル (単位ベクトル) は，
      \[ {\bf{p}}' = ( p'_x,\ p'_y,\ p'_z ) = ( \frac{ P'_x }{R},\ \frac{ P'_y }{R},\ \frac{ P' }{R} ) \\ \]
    \( \bf{v}' \) が \( \bf{v}_1 \) に投影される角度 \( \theta \) は，
      \[ v' = \sqrt{ {v'_x}^2 + {v'_y}^2 + {v'_z}^2 } \\ \ \\ \theta = sin^{-1}( \frac{ p_x\ v'_x + p_y\ v'_y + p_z\ v'_z }{ v' }\ \ ) \\ \quad = sin^{-1}( \frac{ P'_x\ v'_x + P'_y\ v'_y + P'_z\ v'_z }{ R\ v' }\ \ ) \\ \]
    そして，
      \[ {v_1}_x = v'_x\ cos( \theta ) \\ {v_1}_y = v'_y\ cos( \theta ) \\ {v_1}_z = v'_z\ cos( \theta ) \\ \]

    まとめ
    移動の \( \Delta t \) 後の速度 \( {\bf{v}}_1 = ( {v_1}_x,\ {v_1}_y,\ {v_1}_z ) \) は，以下のとおり：

      \[ v'_x = v_x + a_x\ \Delta t \\ v'_y = v_y + a_y\ \Delta t \\ v'_z = v_z + a_z\ \Delta t \\ \]
      \[ v' = \sqrt{ {v'_x}^2 + {v'_y}^2 + {v'_z}^2 } \\ \theta = sin^{-1}( \frac{ P'_x\ v'_x + P'_y\ v'_y + P'_z\ v'_z }{ R\ v' }\ \ ) \\ \]
      \[ {v_1}_x = v'_x\ cos( \theta ) \\ {v_1}_y = v'_y\ cos( \theta ) \\ {v_1}_z = v'_z\ cos( \theta ) \\ \]