\( | {\bf v} | \) を \( v \) とおく。 与えられている条件式は， \[ P_x\ v_x + P_y\ v_y + P_z\ v_z = 0 \\ P_y\ T_y + P_z\ T_z = 0 \\ v_y\ T_y + v_z\ T_z = 0 \\ \frac{ v_x }{ | {\bf v} | } = \frac{ T_y\ P_z - T_z\ P_y }{ R^2 } \\ \frac{ v_y }{ | {\bf v} | } = \frac{ T_z\ P_x }{ R^2 } \\ \frac{ v_z }{ | {\bf v} | } = - \frac{ T_y\ P_x }{ R^2 } \] 最後の２式から，\( P_x \ne 0 \) のとき \[ T_y = - \ \frac{ R^2\ v_z }{ P_x\ v }\ \\ T_z = \ \frac{ R^2\ v_y }{ P_x\ v }\ \ \ \] \( P_x = 0 \) は，つぎの場合である：

このとき上の条件式は \[ P_y\ v_y + P_z\ v_z = 0 \\ P_y\ T_y + P_z\ T_z = 0 \\ v_y\ T_y + v_z\ T_z = 0 \\ \frac{ v_x }{ v } = \frac{ T_y\ P_z - T_z\ P_y }{ R^2 } \\\ v_y = 0 \\\ v_z = 0 \\ \] そして \[ P_y\ T_y + P_z\ T_z = 0 \\ \frac{ v_x }{ v } = \frac{ T_y\ P_z - T_z\ P_y }{ R^2 } \] から \[ P_y\ P_y\ T_y + P_y\ P_z\ T_z = 0 \\ P_z\ \frac{ R^2\ v_x }{ v } = P_z\ T_y\ P_z - P_z\ T_z\ P_y \\ \ \\ \Longrightarrow \ ( P_y^2 + P_z^2 )\ T_y = P_z\ \frac{ R^2\ v_x }{ v } \\ \ \\ \ \\ P_z\ P_y\ T_y + P_z\ P_z\ T_z = 0 \\ P_y\ \frac{ R^2\ v_x }{ v } = P_y\ T_y\ P_z - P_y\ T_z\ P_y \ \\ \Longrightarrow \ ( P_y^2 + P_z^2 )\ T_z = - P_y\ \frac{ R^2\ v_x }{ v } \\ \] \( P_x = 0 \) なので， \( P_y^2 + P_z^2 = R^2 \)。 よって， \[ T_y = \frac{ P_z\ v_x }{ v } \\ T_z = - \frac{ P_y\ v_x }{ v } \\ \]