Up 自然数から四元数まで 作成: 2011-01-13
更新: 2011-01-13

    数 (N, ＋, ×) からは，量の普遍対象 ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) が定義される。
    特に，数のいろいろ（自然数，整数，有理数，‥‥）に量のいろいろが応じることになる。
    こうして，量より先に数があることになり，「数」の意味 (定義) が問題になってくる。

    「数」の意味を考えるために，実際にどんなものを「数」と呼んでいるかを，先ず押さえておこう。

    現前の数(系) は，四元数までの構築の流れがつぎのようになっている：


    これらは，量(系) をつぎのカテゴリー区分で対象化するものになっている：



    ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) の離散と ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) の順序稠密の違いは，前者では２量で比をもてないものが出てくるのに対し，後者ではどの２量も比が一意的に定まるという違いとも，相応じている。


    「大きさとｎ次元方向・完備」のカテゴリーの量 ( (Ｑ, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) として数学の中で実際に対象にされるものは，ｎ次元実ベクトル空間を母体にして構成したつぎのものである：


    ここで， ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) と ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) の同型： ─→ は，つぎの対応である：
    ( ｘ, ｙ ) ←──→ ｘ ＋ ｙi

    また， ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) と ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) の同型： ─→ は，つぎの対応である：
    ( ｘ, ｙ, ｚ, ｗ ) ←──→ ｘ ＋ ｙi ＋ ｚj＋ｗk


    複素数の実用性は，つぎの点にある：
      「２次元実ベクトルの＜比＞になる数」は，つくることができて，
      　それは複素数である。

    四元数の実用性は，つぎの点にある：
      「３次元実ベクトルの＜比＞になる数」は，つくることができて，
      　それは四元数である。

    ただし，「３次元実ベクトルの＜比＞になる数」をつくるとき，それは「４次元実ベクトルの＜比＞になる数」をつくることになって，そしてその数は四元数だということになる。
    ３次元実ベクトルは，４次元実ベクトル空間に埋め込むことで，四元数を＜比＞として用いられるようになる。

    　 解説：
    二つの３次元実ベクトルに対しては，一方のベクトルを２重に回転して大きさを倍することで，他方のベクトルに重ねることができる。
    さて，これが＜数の倍作用＞として表されるようなそんな数は，つくることができないか？
    この数は実際につくることができる──ただし４次元実ベクトルに対し倍の作用をする数としてつくられることになる。これが四元数である。
    ３次元実ベクトルを４次元実ベクトル空間に埋め込み，これを四元数倍すると，結果は３次元実ベクトルになる。そして，＜２重に回転して大きさを倍する＞の結果と同じになる。倍の倍も，四元数の積として計算できる。 よって，「四元数が＜求めていた数＞である！」となる。

    四元数になると，乗法が可換でなくなる。 ──これは，これは四元数の「数」としての著しい特徴になる。
    (四元数については，つぎのテクストにあたられたい：『四元数』)