「ｃはａとｂの公約数」には「ａ ＋ｂ ⊂ ｃ」が対応する(註)。
そこで，「ａ＋ｂ ⊂ ｃ」の を環一般に置き換えて，「ｃはａとｂの公約元」を定義する。
| 註 : |
以下が，これの証明：
一般に，「ｃはｎの約数」は「ｎ ⊂ ｃ」と同値：
ｎ＝ｃ×ｎ' なら，任意の ｍ に対し ｎ×ｍ＝ｃ×ｎ'×ｍ ∈ｃ──すなわち，ｎ ⊂ ｃ。
逆に，ｎ ⊂ ｃ なら，ｎ∈ ｎ ⊂ ｃ より，ｎ＝ｃ×ｎ' となる ｎ' が存在する。
よって，「ｃはａとｂの公約数」は「ａ ⊂ ｃ かつ ｂ ⊂ ｃ」と同値。
そこで「ａ ⊂ ｃ かつ ｂ ⊂ ｃ」と「ａ＋ｂ ⊂ ｃ」の同値を言えばよい。
(1) 「ａ ⊂ ｃ かつ ｂ ⊂ ｃ」が「ａ＋ｂ ⊂ ｃ」を導くこと：
ａ＋ｂ の元は，ｃ の元の和。これは ｃ に属する。
(2) 「ａ＋ｂ ⊂ ｃ」が「ａ ⊂ ｃ かつ ｂ ⊂ ｃ」を導くこと：
ａ ＝ ａ＋{0} ⊂ ａ＋ｂ ⊂ ｃ。同様にして，ｂ ⊂ ｃ。
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