Up 次元とベクトル表現  

    数学は，＜構成＞である。
    どの概念も＜構成＞の中にある。
    概念の意味を理解することは，＜構成＞の中でのその概念の位置を理解することである。

    数学をやっていない人は，このことがわからない。
    そこで，概念の一つの相を切り取って，それがこの概念の意味だと唱える。
    学校数学はこんなふうであって，めいめい勝手な思いつきを言い合う世界になっている。

    「ベクトルは多元量だ」みたいのも，この種の思いつきの発言である。
    この思いつきがどこから出てくるのかを説明すると，これは「ベクトルの表現」の話になる。 以下，この内容を簡単に述べることにする。


    ベクトルを考えるときは，暗黙に空間を考えている。
    「直線移動」にも，つぎの違いがある：
      直線上方向自由──１次元ユークリッド空間の中の直線移動
      平面上方向自由──２次元ユークリッド空間の中の直線移動
      空間内方向自由──３次元ユークリッド空間の中の直線移動
    数学だとさらに，次元を拡張・一般化した論述にまとめることになる。

    そこで「ベクトルの表現」が主題になるとき，その表現も次元に依存したものになる。
    「ベクトルの表現」の手法は，つぎのようになる。

    話を簡単にするために，２次元ユークリッド空間の中の直線移動を考えよう。
    先ず，空間の基底｛ｕ1, ｕ2｝をとる。
    この基底に対して，直線移動ｖは，つぎの形──「ｕ1, ｕ2 の線型(１次)結合」──に一意的に表現される：
        ｖ＝ ｕ1 × ｎ1 ＋ ｕ2 × ｎ2

    ここで基底｛ｕ1, ｕ2｝を固定して考えることにすると，直線移動は２つの数 (スカラ) の組 (ｎ1, ｎ2) で表されることになる。
    「ベクトルは多元量だ」のことばは，このレベルのベクトルの相をとらえ，これがベクトルの意味だと言っているわけである。

    「ベクトルは多元量だ」を言う者は，定めし「行列」の概念もごっちゃになっている。
    「行列」の意味 (＜構成＞の中での「行列」の位置) は以下で説明しているので，確認されたい：