Up \(Hom\) と \(\otimes\) 作成: 2018-02-08
更新: 2018-02-25


    速さは,時間と距離の対で表現する。
    例えば,(2秒, 3cm)。
    これらの対を,「同じ速さを表す」を同値関係にして,類別する。
    同値類の集合 (商集合) は,「Hom(時間, 距離)」と表されるところの線型空間 (ベクトル空間) になる。

    長方形の面積を,タテの長さとヨコの長さの対で表現する。
    例えば,(2cm, 3cm)。
    これらの対を,「同じ長方形の面積を表す」を同値関係にして,類別する。
    同値類の集合 (商集合) は,「タテ\(\otimes\)ヨコ」と表されるところの線型空間 (ベクトル空間) になる。


    この2つの一般形式は,どうなっているか。
    起点は,同じ体 \(K\) 上の2つの線型空間 \(U,\, V\) である。
    これの積集合 \(U \times V\) に,つぎの二タイプの同値関係を考える: \[ ( {\bf u},\, {\bf v} ) \sim ( \xi\, {\bf u},\, \xi\,{\bf v} ) \quad ( \xi \in K) \\ ( \xi\, {\bf u},\, {\bf v} ) \sim ( {\bf u},\, \xi\,{\bf v} ) \quad ( \xi \in K) \] 前者による商集合は,\(K\) 上の線型空間 \( Hom (U,\,V) \) になる。
    後者による商集合は,\(K\) 上の線型空間 \( U \otimes V \) になる。

    \( U \otimes V \) は,テンソル積と呼ばれる。
    数学の「テンソル」は,「テンソル積」である。


    「テンソル」をカテゴリー的に位置づけるような物言いをするとき,その起点は, \( Hom (U,\,V) \) と \( U \otimes V \) を同列に措くことである。
    \( Hom (U,\,V) \) に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことがナンセンスであれば, \( U \otimes V \) に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことはナンセンスなのである。
    そして,\( Hom (U,\,V) \) に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことは,ナンセンスである。


    数の割り算は,除数を逆数に替えて,掛け算になる。
    \( U \otimes V \) が「\( U \times V \)」であるのに対し,\( Hom (U,\,V) \) は「\(V\)÷\(U\)」である。
    \(U\) の「逆数」── \(U\) の双対 \(U^*\) ──を用いて,\( Hom (U,\,V) \) は \( U^* \otimes V \),すなわち「\( U^* \times V \)」になる。
     ( 「距離÷時間=速さ」)

    こういうわけで,同値関係の微妙な違いで二つに分かれた \(Hom\) と \(\otimes\) は, 結局 \(\otimes\) に一元化されることになる。
    「量の公式の理論はテンソルの理論になる」というとき,「 \(\otimes\) の片割れであった \(Hom\) は考えなくてよいのか」の心配になるわけであるが,この心配は無用となる。
    ──晴れて,「量の公式の理論はテンソルの理論」となるのである。