例えば，(２秒, ３cm)。 これらの対を，「同じ速さを表す」を同値関係にして，類別する。 同値類の集合 (商集合) は，「Hom(時間, 距離)」と表されるところの線型空間 (ベクトル空間) になる。 長方形の面積を，タテの長さとヨコの長さの対で表現する。 例えば，(２cm, ３cm)。 これらの対を，「同じ長方形の面積を表す」を同値関係にして，類別する。 同値類の集合 (商集合) は，「タテ\(\otimes\)ヨコ」と表されるところの線型空間 (ベクトル空間) になる。 この２つの一般形式は，どうなっているか。 起点は，同じ体 \(K\) 上の２つの線型空間 \(U,\, V\) である。 これの積集合 \(U \times V\) に，つぎの二タイプの同値関係を考える： \[ ( {\bf u},\, {\bf v} ) \sim ( \xi\, {\bf u},\, \xi\,{\bf v} ) \quad ( \xi \in K) \\ ( \xi\, {\bf u},\, {\bf v} ) \sim ( {\bf u},\, \xi\,{\bf v} ) \quad ( \xi \in K) \] 前者による商集合は，\(K\) 上の線型空間 \( Hom (U,\,V) \) になる。 後者による商集合は，\(K\) 上の線型空間 \( U \otimes V \) になる。 \( U \otimes V \) は，テンソル積と呼ばれる。 数学の「テンソル」は，「テンソル積」である。 「テンソル」をカテゴリー的に位置づけるような物言いをするとき，その起点は， \( Hom (U,\,V) \) と \( U \otimes V \) を同列に措くことである。 \( Hom (U,\,V) \) に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことがナンセンスであれば， \( U \otimes V \) に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことはナンセンスなのである。 そして，\( Hom (U,\,V) \) に対し「ベクトル・行列の拡張」を言うことは，ナンセンスである。 \( U \otimes V \) が「\( U \times V \)」であるのに対し，\( Hom (U,\,V) \) は「\(V\)÷\(U\)」である。 \(U\) の「逆数」── \(U\) の双対 \(U^*\) ──を用いて，\( Hom (U,\,V) \) は \( U^* \otimes V \)，すなわち「\( U^* \times V \)」になる。 (  「距離÷時間＝速さ」)
こういうわけで，同値関係の微妙な違いで二つに分かれた \(Hom\) と \(\otimes\) は， 結局 \(\otimes\) に一元化されることになる。 「量の公式の理論はテンソルの理論になる」というとき，「 \(\otimes\) の片割れであった \(Hom\) は考えなくてよいのか」の心配になるわけであるが，この心配は無用となる。 ──晴れて，「量の公式の理論はテンソルの理論」となるのである。 |