Up 「数」の意味のシフト 作成: 2011-01-13
更新: 2011-01-15

    「数」と呼ばれているものを，
      自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数 → 四元数
      → 八元数 → 十六進数
    と追っていくと，「数」の意味として一貫して残るものが無くなる。
    どうしてこうなるかというと，新しい「数」をつくっていくやり方が，「直近の改造」だからである。
    隣り同士は似ているが，隔たるにしたがい別物になっていく。

    • 自然数 → 分数 (有理数) は，順序稠密化である。
    • 有理数 → 実数 は，完備化である。
    • 実数 → 複素数 は，倍作用の対象にしている実ベクトルの次元を１から２に上げるものである。
    • 複素数 → 四元数 は，倍作用の対象にしている実ベクトルの次元を２から３(結果的に４) に上げるものである。
      また一面では，複素数の「複素」形式の拡張である。
    • 四元数 → 八元数 → 十六進数 は，純粋に「複素」形式の拡張である。


    四元数までは＜量をもつ数＞であり，八元数からは＜量をもたない数＞である。

    数学は，実数，複素数，四元数から定義される量形式
        ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) )
        ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) )
        ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) )
    をもつ量として，それぞれ
        ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) )
        ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) )
        ( (, ＋), ×, (, ＋, ×) )
    を取り上げる。
    これらは，線型空間論の実線型空間から材料をとってきている。

    特に，( (, ＋), ×, (, ＋, ×) ) は，「量」と「線型空間」の両方の見方ができる。