集合の方を「自然数(集合)」と呼ぶとしよう。これは，  で表わされる。
個々の数は の要素ということになったので，これを「自然数(要素)」と呼ぶとしよう。
自然数では「和」と「積」が考えられている。 すなわち，自然数(集合) には，内算法である加法＋と乗法 × が考えられている。
自然数がこのように自然数(集合) と加法＋と乗法 × を構成要素とする系──「自然数(系)」──であるということを，( , ＋, × ) で表すことにする。
以上「自然数」について，これの系を表現した。 しかし，この表現を導いてきた論法は，他の数 (「整数」「有理数」「複素数」‥‥ ) でも同じになる。 そこで一般に，「数」が系，集合，要素のいずれを指すかでそれぞれ「数(系)」「数(集合)」「数(要素)」の言い回しを用いることにし，そしてつぎを数(系) の表現とする：
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