「そもそも数とは？」に答えられないのでは，自然数，分数，‥‥ を学習したことにはなりません。 「そもそも数とは？」の教授/学習マップ (マトリックス) を，以下に示します。 学校数学では，このマトリックスに対しつぎのように＜個別縦断型＞で教授/学習を進めていることになります： 
この偏見は，新たな数が登場してこれまでの「数」理解が通用しなくなることで，壊されます： そして，＜偏見＞が壊されていくこの過程で最後まで壊されずに残ったものが，「そもそも数とは？」の答えになります。 実際，以下のマトリックスで，自然数，分数，‥‥，複素数の列 (コラム) を横断している行が，「そもそも数とは？」の答えになるものです。 横断型は，個別縦断型がある程度進んだ段階で，はじめて取り入れることができます。 最初にこれを行えるのは，中学数学の「正負の数」の教授/学習が終わった段階です。 そして，「複素数」(さらには「四元数」) が終わった段階で，「そもそも数とは？」を仕上げるような教授/学習へと入っていくことが可能になります。 なお，縦断型と横断型それぞれを学習できるように，オンラインブックを２冊用意しました：
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| 「個数」から自然数 | 「線分の長さの比」から分数 | 「正逆２方向の移動 (1次元ベクトル) の比」 から正負の数 |
「平面上の移動 (2次元ベクトル) の比」 から複素数 |
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| 量を対象化する | ||||
| 量の普遍対象 (universal object) を導入する | ||||
「個数」──普遍対象として「●」
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「線分」 が普遍対象になる量  |
「直線上の移動 (1次元ベクトル)」 が普遍対象になる量 (「正逆２方向の量」)  |
「平面上の移動 (2次元ベクトル)」 が普遍対象になる量  |
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| 量の和 (＋) を対象化する | ||||
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| 量の和では，交換法則と結合法則が成り立つ | ||||
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(ｐ＋ｑ) ＋ｒ ＝ ｐ＋ (ｑ＋ｒ)
ｐ＋ｑ ＝ ｑ＋ｐ |
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| 以上で，(量, ＋) が構成された | ||||
| 量の比を対象化する | ||||
| 量の比を対象化する | ||||
| 「個数」は，２量の比で，一方が＜個＞， 他方が＜個＞のいくつと見なされているもの。 |
「線分の長さの比」を対象化する。 | 「正逆２方向の移動 (1次元ベクトル) の比」 を対象化する。 |
「平面上の移動 (2次元ベクトル) の比」 を対象化する。 |
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| 量の比の表現で数が出てくる | ||||
自然数
 (「個数・自然数」は「量・数」として特殊過ぎて，「比」の解釈が不自然になる) |
分数
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正負の数
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複素数 (２つの表現方法)
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| 比は,「倍」(倍作用 ｘ) と読める | ||||
| 量の表現：「単位(とする量)の何倍」 | ||||
| 「＜個＞がいくつ」 （→「個数」) |
「単位長さの何倍」 | 「単位ベクトルの何倍」 | 「単位ベクトルの何倍」 （回転と大きさの倍) |
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| 倍の和を対象化する | ||||
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| 倍の和として数の和 (記号＋の用法) を定める | ||||
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| 数の和を求めるロジック/アルゴリズム/式 | ||||
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| 数の和 ＋ では，交換法則と結合法則が成り立つ | ||||
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(ｍ＋ｎ) ＋ｋ ＝ ｍ＋ (ｎ＋ｋ)
ｍ＋ｎ ＝ ｎ＋ｍ |
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| 倍の合成 (倍の倍) を対象化する | ||||
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| 倍の合成 (倍の倍) として数の積 (記号ｘの用法) を定める | ||||
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| 数の積を求めるロジック/アルゴリズム/式 | ||||
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| 数の積 ｘ では，結合法則が成り立つ | ||||
| (ｍｘｎ) ｘｋ ＝ ｍｘ (ｎｘｋ) | ||||
| ｘ の交換法則が成り立つ | ||||
| 数の加法＋と乗法ｘ の間の関係 | ||||
| (ｍ＋ｎ) ｘｋ ＝ (ｍｘｋ) ＋ (ｎｘｋ) | ||||
| 量の加法 ＋，量に対する数の倍作用 ｘ，数の加法＋・乗法ｘ の間の関係 | ||||
| (ｑ ｘ ｍ) ｘ ｎ ＝ ｑ ｘ (ｍ × ｎ)
(ｑ ｘ ｍ) ＋ (ｑ ｘ ｎ) ＝ ｑ ｘ (ｍ ＋ ｎ) (ｑ ＋ ｒ) ｘ ｎ ＝ (ｑ ｘ ｎ) ＋ (ｒ ｘ ｎ) |
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| 以上で，((量, ＋), ｘ, (数, ｘ, ＋)) が構成された | ||||
| 「数」の定義 | ||||
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| 「量」の定義 | ||||
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| 「位 (位置)」を対象化する | ||||
| (「位 (空間における位置)」の対象化は不自然 ) | 位 (空間における位置) の表現 (ずらしの作用 ＋ の導入，「基準(とする点)から単位(とする量)の何倍」) |
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| 直線上の位置を表現する。 | 平面上の位置を表現する。 | |||
| ずらしの作用 ＋ と量の加法＋の間の関係 | ||||
| (Ｐ ＋ ｑ) ＋ ｒ ＝ Ｐ ＋ (ｑ ＋ ｒ) | ||||
| 以上で，(位, ＋, ( (量, ＋), ｘ, (数, ｘ, ＋) ) ) が構成された | ||||
| 「位」の定義 | ||||
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| 「個数」から自然数 | 「線分の長さの比」から分数 | 「正逆２方向の移動 (1次元ベクトル) の比」 から正負の数 |
「平面上の移動 (2次元ベクトル) の比」 から複素数 |
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