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  • 比例関係
    ２量 D, D' の間の比例関係 f : D → D' は，つぎの条件で定義されます：
f( x × n) ＝ f( x ) × ｎ
(「一方が 2倍, 3倍, ‥‥ になればもう一方も 2倍, 3倍, ‥‥ になる」)

    いま，D, D' の単位をそれぞれ決めます── u と v とします。
    このとき， u に対する値が n の x に対し，v に対する f( x ) の値は，つぎのようになります：
n × a
    ここで，a はつぎの関係から出てくる数です：
f( u ) ＝ v × a
    実際，
f( u × n ) ＝ f( u ) × n＝ ( v × a ) × ｎ＝ v × (n × a)

  • 線型写像
    ２量の比例関係は,「2次元の実ベクトル空間 D, D' の間の線型写像 f : D → D'」の概念に拡張されます。
    この「拡張」の内容は，つぎの条件です：
f( x × n) ＝ f( x ) × ｎ
f( x ＋ y) ＝ f( x ) ＋ f( y )

    いま，D と D' の基底をそれぞれ決めます── { u1, u2 } と { v1, v2 } とします。
    このとき，{ u1, u2 } に対する値が ( n1, n2) の x に対し，{ v1, v2 } に対する f( x ) の値は，つぎのようになります：
( n1 × a11 ＋ n2 × a21,　 n1 × a12 ＋ n2 × a22, )

    ここで，a11, a12, a21, a21, は，つぎの関係から出てくる数です：
f( u1 ) ＝ v1 × a11 ＋ v2 × a12
f( u2 ) ＝ v1 × a21 ＋ v2 × a22
    実際，
f( u1 × n1 ＋ u2 × n2 )
＝ f( u1 ) × n1 ＋ f( u2 ) × n2
＝ ( v1 × a11 ＋ v2 × a12 ) × n1 ＋ (v1 × a21 ＋ v2 × a22 ) × n2
＝ v1 × (n1 × a11 ＋ n2 × a21) ＋ v2 ( n1 × a12 ＋ n2 × a22 )

  • 比較
比例関係 線型写像
f( u ) ＝ v × a
f( u1 ) ＝ v1 × a11 ＋ v2 × a12
f( u2 ) ＝ v1 × a21 ＋ v2 × a22
値 n に
数値 n × a が対応
値 ( n1, n2) に
値 (n1 × a11 ＋ n2 × a21,　n1 × a12 ＋ n2 × a22 )
が対応
    このように，比例定数 a には ２×２の行列
    が対応しています。