Up 量と線型空間の関係
　(量・数 ←→ ベクトル・スカラー/行列 )		  

    自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数 → 四元数 の流れでは，実数のところから，実線型空間を量にしていきます：
    実数に対する量:１次元実線型空間 (「直線」)
    複素数に対する量:２次元実線型空間 (「平面」)
    四元数に対する量:４次元実線型空間 (「空間」をこの中に埋め込む)
    ここで「実線型空間を量にする」とは，実線型空間を量の構造で見ていくということです

    １次元実線型空間は，構造においても，実数に対する量と同じものになります。
    すなわち，１次元実線型空間と実数に対する量は，同じものです。

    しかし，２次元以上では，線型空間と量は，構造において異なるものです。 (最も特徴的な違いは，量は１次元であるということ。)
    すなわち，線型空間と量は違うものです。

    特に，量は線型空間の低次元版ではありません。
    ──逆の言い方をすれば，線型空間は量の次元拡張ではありません。

    以下，１次元では同じものになった線型空間と量が，２次元以上になるとどのような違いを示すことになるのかを，見ていくことにします。

    １次元実線型空間では，量であるところのベクトルは，直線上の移動/シフトになっています：


    そして，実線型空間として１次元であることが，同時に「量測定」の意味になっています：


    この表現の中に現れている実数の身分は，この表現を実線型空間が１次元であることの表現と見るときは「スカラー」であり，「量測定」の表現と見るときは「数」です。 １次元でベクトルを量にするとき，「数」と「スカラー」は同じものになります。

    １次元が２次元になると，「直線上の移動/シフト」は「平面上の移動/シフト」になります。 そして，線型空間の要素としてのベクトルの表現が，つぎのようになります：


    この表現の中に現れている実数の身分は，「スカラー」です。 「量」に対する「数」は，この表現の中に存在していません。(実際，このとき「数」になるのは，複素数です。） ２次元でベクトルを量にするとき，「数」と「スカラー」が別物になります。

    直線上の移動/シフトは，単位の何倍という形で記述できました。これに対し平面上の移動/シフトの場合，「数」ではなく「スカラー」で表現を行おうとすると，単位は成立しません。 単位の役割をさせるものとして，向きの異なる２つのベクトルの組 (u1, u2) を用いることになります。
    実際，上図のように，どの移動/シフトも
u1 ×n1 ＋u2 ×n2　　 (n1, n2：実数)
    の形に記述できるようになります。
    なお，このように用いられるベクトルの組のことを，「基底」と呼んでいます。

    ３次元は，ベクトルが「空間の中の移動/シフト」になります。
    これを表現するには，向きの異なる３つのベクトルの組が必要です。 すなわち，向きの異なる３つのベクトルで基底をつくることになります。

    　註 : 直線を1次元，平面を2次元，空間を3次元とそれぞれ呼ぶときの次元の数は，基底をつくるのに要するベクトルの個数を指しています。

    量を単位の何倍で表すことには，ベクトルを基底の行列倍で表すことが対応します。 量では数が単位に対する倍作用素であるのに対し，線型空間では行列が基底に対する倍作用素になるわけです。
    こうして，２次元以上では，「スカラー」と「行列」の二本立てで「数」の機能を賄っていくふうになります。