Up ３次元ベクトルの四元数倍は？ 作成: 2007-10-21
更新: 2007-10-25

    ２次元実ベクトルに対する複素数倍の拡張は，「３次元実ベクトルの倍」ではうまくいかず，「４次元実ベクトルの倍」になります。そして四元数がこのときの数になります。

    ただし，複素数倍が「回転・倍」の作用であり，これの３次元への拡張を目論んだのが四元数の起こりでしたので，「３次元実ベクトルの回転・倍計算への四元数の応用性」の想いは依然残ります。

    そこで，「３次元実ベクトルの四元数倍」がどのようなものになるか，ここでチェックしてみることにします。

    四元数は４次元実ベクトルに対して倍作用します。 そこで，３次元実ベクトル ( x, y, z ) を ( 0, x, y, z ) の形で４次元実ベクトル空間に埋め込んで考えるというのが，自然な考え方になります。

    しかしこの場合，３次元ベクトルの四元数倍は，３次元ベクトルの中におさまりません。
    例えば，こんな具合です：
      　　　 　　　 　　　 　　　
      i ×　 0　x　y　z 　→　 ー x 0 ー z y
      j ×　 0　x　y　z 　→　 ー y z 0 ー x
      k ×　 0　x　y　z 　→　 ー z ー y x 0
      　
      0　x　y　z 　×　 i 　→　 ー x 0 z ー y
      0　x　y　z 　×　 j 　→　 ー y ーz 0 x
      0　x　y　z 　×　 k 　→　 ー z y ー x 0

    しかし，この場合つぎのようにすると，３次元ベクトルの中におさまります：
      　　　 　　　 　　　 　　　
      i ×　 0　x　y　z 　×　 ー i 　→　 0 x ー y ー z
      j ×　 0　x　y　z 　×　 ー j 　→　 0 ー x y ー z
      k ×　 0　x　y　z 　×　 ー k 　→　 0 ー x ー y z


    そこで，これをヒントに，つぎの積の展開パターンから，「３次元実ベクトルで閉じる四元数倍のパターン」を探ってみることにします：
　(fr ＋ fx i ＋ fy j ＋ fz k ) × (ax i ＋ ay j ＋ az k ) × (gr ＋ gx i ＋ gy j ＋ gz k )
    結論から言うと，つぎのパターンがここで求めるものになります：
(fr ＋ fx i ＋ fy j ＋ fz k ) × (ax i ＋ ay j ＋ az k ) × (fr ー fx i ー fy j ー fz k )

＝ ( ( fr2 ＋ fx2 ー fy2 ー fz2 ) ax
　 ＋ 2 ( ー fr fz ＋ fx fy ) ay ＋ 2 ( fr fy ＋ 2 fx fz ) az ) i

＋ ( ( fr2 ー fx2 ＋ fy2 ー fz2 ) ay
　 ＋ 2 ( ー fr fx ＋ fy fz ) az ＋ 2 ( fr fz ＋ fx fy ) ax ) j

＋ ( ( fr2 ー fx2 ー fy2 ＋ fz2 ) az
　 ＋ 2 ( ー fr fy ＋ fx fz ) ax ＋ 2 ( fr fx ＋ fy fz ) ay ) k

    以下が，このゴールに至るプロセスです：

      (fr ＋ fx i ＋ fy j ＋ fz k )
      　× (ax i ＋ ay j ＋ az k )
      　× (gr ＋ gx i ＋ gy j ＋ gz k )

      ＝ ( ー fr gx ー fx gr ＋ fy gz ー fz gy ) ax
      ＋ ( ー fr gy ー fx gz ー fy gr ＋ fz gx ) ay
      ＋ ( ー fr gz ＋ fx gy ー fy gx ー fz gr ) az

      ＋ ( fr gr ー fx gx ＋ fy gy ＋ fz gz ) ax
      ＋ ( fr gz ー fx gy ー fy gx ー fz gr ) ay
      ＋ ( ー fr gy ー fx gz ＋ fy gr ー fz gx ) az ) i

      ＋ ( ( ー fr gz ー fx gy ー fy gx ＋ fz gr ) ax
      ＋ ( fr gr ＋ fx gx ー fy gy ＋ fz gz ) ay
      ＋ ( fr gx ー fx gr ー fy gz ー fz gy ) az ) j

      ＋ ( ( fr gy ー fx gz ー fy gr ー fz gx ) ax
      ＋ ( ー fr gx ＋ fx gr ー fy gz ー fz gy ) ay
      ＋ ( fr gr ＋ fx gx ＋ fy gy ー fz gz ) az ) k


      ここで，一般的に実部を 0 にするのは，つぎの場合 ( fr ＋ fx i ＋ fy j ＋ fz k と gr ＋ gx i ＋ gy j ＋ gz k が「共役」の場合)：

        fr ＝ gr,　 fx ＝ ー gx,　 fy ＝ ー gy,　 fz ＝ ー gz

      そしてこのとき，

      ＝ ( ( fr2 ＋ fx2 ー fy2 ー fz2 ) ax
      　 ＋ 2 ( ー fr fz ＋ fx fy ) ay ＋ 2 ( fr fy ＋ 2 fx fz ) az ) i

      ＋ ( ( fr2 ー fx2 ＋ fy2 ー fz2 ) ay
      　 ＋ 2 ( ー fr fx ＋ fy fz ) az ＋ 2 ( fr fz ＋ fx fy ) ax ) j

      ＋ ( ( fr2 ー fx2 ー fy2 ＋ fz2 ) az
      　 ＋ 2 ( ー fr fy ＋ fx fz ) ax ＋ 2 ( fr fx ＋ fy fz ) ay ) k