Up Dedekind 切断による実数の定義  

    数学は，有理数を素材にして実数をつくる── 有理数から実数を生み出す。
    有理数から実数を生み出す方法には，Cauchy列を用いるものと， Dedekind切断で実数を定義するものの，２つがある。

    「既存の数の系から新しい数を生み出す」は，分数と整数を自然数から構築するところでもやっている。 そしてそのときには，構築の手順が存在した：
    　 自然数の積集合 × をつくる。
    この集合の要素 (すなわち，自然数の対) の間の同値関係を，「外項の積＝内項の積」で定義するとき，この同値関係による × の商が，分数の系になる。
    また，同値関係を「外項の和＝内項の和」に替えれば，整数の系になる。

    しかし，実数の構築の場合，Cauchy列の方法でも Dedekind切断の方法でも，有理数から実数をつくる手順は与えられない。 したがって，実数のこれらの導入には，何か＜だまし＞のようなものをどうしても感じることになる。 しかし，この＜だまし＞も，数学のうちである。

    以下，Dedekind切断のアイデアを述べる。

    「有理数から実数を生み出す」をやるわけであるが，結果先取りで，実数直線を考える。 そして，この直線を包丁で真っ二つに切断することを考える。
    この切断は，刃先が有理数にあたるものと，無理数にあたるものの，二通りになる。

    実際には，無理数はいまから構築するのであって，無理数はまだ存在しない。 そこで，実数直線から無理数を除いて，有理数だけにする。
    すると先の切断は，刃先が有理数にあたるものと，刃先が何にもあたらないものの，二通りになる。 前者を「コツン(とあたる)」タイプ，後者を「スルー(と抜ける)」タイプと，呼ぶことにしよう。


    さて，Dedekind切断のアイデアは，「＜切断＞を＜数＞にしてしまう」というものである。
    このとき，コツンタイプをこれまでの有理数と同一視し，スルータイプを「無理数」と定める。 そして，両者合わさって「実数」となる。

    コツンタイプは，あたった有理数ｎを用いて， の二分割 { ]←, ｎ], ]n, →[ } あるいは { ]←, ｎ[, [n, →[ } で表すことができる。
    しかし，スルータイプの方は， の二分割として記述する一般的形式は存在しない。無理数ごとに，個別に考えていくことになる。