Up √２ に対応する Cauchy 列と Dedekind 切断  

    「数の拡張」の数学では，実数は有理数を素材にして構築されます。 そして，この構築方法に，Cauchy 列と Dedekind 切断の二つの方法があります。
    以下，無理数 √2 に対応する Cauchy 列と Dedekind 切断を示します。


    正方形の辺の長さと対角線の長さに対するユークリッドの互除法は，延々と続いて終わりません。そしてこれは，√2 が無理数であることの直接証明になっています。（ √２ が無理数であることの証明）

    いま，正方形の辺と対角線の長さ，互除法の中で現れる余りの線分の長さに，つぎのように記号をあてます：


    このとき，つぎの関係が成り立っています：



        の左辺は量の等式，右辺は数の等式。
        の右辺の「量/量」は，この２量の比になっている数。

    そしてこれから，つぎが導かれます：



  1. √2 に対応する Cauchy 列

    ここで，つぎの数列を考えます：


    これは，√2 に対応する Cauchy 列になります。


  2. √2 に対応する Dedekind 切断

    さらにつぎの集合をつくります：


    この２つの集合は，√2 に対応する Dedekind 切断になります。