Up クリストッフェル記号 \( {\Gamma}^k_{ij} \) 作成: 2018-01-09
更新: 2018-03-06


    記号 \(\Gamma^{k}_{ij}\)
      \[ \quad \Gamma^k_{ij} = \sum_l \sum_m \frac{\partial^2 X^m}{\partial x^l \partial x^i } \frac{\partial x^l}{\partial X^j} \frac{\partial x^k}{\partial X^m} \]
    の導入によって,「基底の接続」「座標の接続」がつぎのように表現されることになった:
      \[ \begin{align*} d{\bf e}_i({\bf x}) &= \sum_j \sum_k \Gamma^k_{ij} {\bf e}_k({\bf x}) \ dX^j \\ d a_i({\bf x}) &= a_i({\bf x}+ d{\bf x}) - a_i({\bf x}) \\ &= \sum_j \sum_k \Gamma^k_{ij}\, a_k({\bf x})\ dX^j \end{align*} \]

    \(\Gamma^{k}_{ij}\) を,「クリストッフェルの三指標記号」と呼ぶ。
    また,「接続」の文脈を以て,「接続係数」と呼ぶ。