Up 南中太陽の高度 作成: 2020-09-28
更新: 2020-09-29


    定理
    公転角度がτのときの,緯度aでの南中太陽の仰角余角αは, \[ \alpha_c = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ \ \\ \] 以下,これの証明。

    公転角度がτのとき,座標 (x, y, z) での太陽の仰角余角αは,つぎの通り ( 太陽の高度): \[ cos( \alpha ) = \tau_s \ x - \tau_c \ y \\ \] また,南中の座標はつぎの通り ( 南中の座標): \[ x = \frac { a_c \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } \\ y = - \frac{ (n_c)^2 a_c \tau_c } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } - n_s a_s \\ \] 以上を合わせて:

    \[ \begin{align} \alpha_c &= \tau_s \frac { a_c \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } - \tau_c \biggr( - \frac{ (n_c)^2 a_c \tau_c } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } - n_s a_s \biggl) \\ &= \frac { a_c (\tau_s)^2 + (n_c)^2 a_c (\tau_c)^2 } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= \frac { a_c ( (1 - (\tau_c)^2) + (n_c)^2 (\tau_c)^2 ) } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= \frac { a_c ( 1 - (n_s)^2 (\tau_c)^2 ) } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ \\ \ \\ \end{align} \]

    例. 秋分 (τ=π/2) の場合
    \( \tau_c = 0, \ \tau_s = 1 \) により,\( \alpha_c = a_c \)
    よって,\( \alpha = a \)