公転角度がτのときの，緯度ａでの南中太陽の仰角余角αは， \[ \alpha_c = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ \ \\ \] 以下，これの証明。 公転角度がτのとき，座標 (x, y, z) での太陽の仰角余角αは，つぎの通り (  太陽の高度)：
\[
cos( \alpha ) = \tau_s \ x - \tau_c \ y
\\
\]
また，南中の座標はつぎの通り ( 南中の座標)：
\[
x = \frac { a_c \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } \\
y = - \frac{ (n_c)^2 a_c \tau_c } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } - n_s a_s \\
\]
以上を合わせて：
\[ \begin{align} \alpha_c &= \tau_s \frac { a_c \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } - \tau_c \biggr( - \frac{ (n_c)^2 a_c \tau_c } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } - n_s a_s \biggl) \\ &= \frac { a_c (\tau_s)^2 + (n_c)^2 a_c (\tau_c)^2 } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= \frac { a_c ( (1 - (\tau_c)^2) + (n_c)^2 (\tau_c)^2 ) } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= \frac { a_c ( 1 - (n_s)^2 (\tau_c)^2 ) } {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ \\ \ \\ \end{align} \] よって，\( \alpha = a \) |