Ｐの緯度ａとし，いまの位置ベクトルを \( {\bf x} \) とする。 太陽の方角は，太陽方向ベクトル \( {\bf s} \) を地平面に下ろしたベクトルで表す。 「地平面に下ろす」を述べるには，数学が要る。 ──数学をやっていないと，言い方に困る。 これは，つぎのように述べられる：
Ｐを足とし \( S_{\bf xs} \) と垂直なベクトル \( {\bf t}\) をとる。 \( {\bf t} \) と \( {\bf x} \) が張るを平面を \( S_{\bf {tx}} \) とする。 Ｐを足とし \( S_{\bf tx} \) と垂直なベクトル \( {\bf d} \) をとる。 \( {\bf d}\) が, 「太陽の方角」ベクトルになる。 
ただし，この述べ方はまだ不十分である。 太陽を前に見る向きと背後にする向きの２通りになるからである。 
太陽を前に見るようにするには，つぎのように述べればよい：
この回転で右ネジが進む方向を \( {\bf t}\) の向きにする。 \( S_{\bf tx} \) 上で，P を足にして，2∠R より小さい回転で \( {\bf t} \) を \( {\bf x} \) に重ねることを考える。 この回転で右ネジが進む方向を \( {\bf d}\) の向きにする。 しかし，絵はわかるにしても，言い回しが面倒である。 数学は，この言い回しを簡単にする用語を用意している。 「ベクトルの外積」である。 この用語を用いると，\( {\bf d}\) の導入はつぎのように述べられる：
\( {\bf t} \) と \( {\bf x} \) の外積 \( {\bf t} \times {\bf x} \) を，\( {\bf d}\) とする。 「外積」は高校数学には出て来ないが，高校物理の「フレミングの右手の法則」は「右ネジの法則」であり，「外積」をやっているわけである。 外積は，ベクトルの成分で表すとつぎのようになる： \[ ( a_1, a_2, a_3) \times (b_1, b_2, b_3) \\ \quad = ( a_2 b_3 - a_3 b_2, \ a_3 b_1 - a_1 b_3, \ a_1 b_2 - a_2 b_1 ) \\ \ \\ \] こうして，「太陽の方角」ベクトル \( {\bf d } \) がつぎの計算で求まる： \[ {\bf d } = ( {\bf x} \times {\bf s} ) \times {\bf x} \\ \quad = ( ( (x, y, z) \times (\tau_s, - \tau_c, 0 ) ) \times (x, y, z) \\ \quad = ( y 0 - z (- \tau_c), \ z \tau_s - x 0, \ x (- \tau_c) - y \tau_s ) \times (x, y, z) \\ \quad = ( \tau_c z, \ \tau_s z, \ - \tau_c x - \tau_s y ) \times (x, y, z) \\ \quad = ( \tau_s z z - (- \tau_c x - \tau_s y) y, \ (- \tau_c x - \tau_s y) x - \tau_c z z, \ \tau_c z y - \tau_s z x) \\ \quad = ( \tau_s ( y^2 + z^2 ) + \tau_c ( x y ), \ - \tau_s ( x y ) - \tau_c ( z^2 + x^2 ), \ - \tau_s ( z x ) + \tau_c ( y z ) ) \\ \] そして \( {\bf d } \) の大きさは，\( {\bf x} \cdot {\bf s} = cos( \alpha ) \) のαに対し， \[ | {\bf t} | = | {\bf x} | | {\bf s} | \ sin( \alpha ) = sin( \alpha ) \\ | {\bf d} | = | {\bf t} | | {\bf x} | \ sin( \pi / 2 ) = sin( \alpha ) \\ \] 「太陽の高度」で \[ cos( \alpha ) = \tau_s \ x - \tau_c \ y \] を得ているので，これより \[ sin( \alpha ) = \sqrt { 1 - ( cos( \alpha ) )^2 } = \sqrt { 1 - ( \tau_s \ x - \tau_c \ y )^2 } \\ \] 公転角度τのときの，座標 (x, y, z) での太陽方角ベクトル： |
検算