「１年は365日」は「公転軌道一周の360度回転に365日」ということであるから，公転軌道を円と見なせば，概ね公転角度１度が１日と対応していることになる。 ──実際，「度」の由来はこの対応に求めることになる。 公転角度は，南中時の影の長さから導くことができる。 実際，南中太陽の仰角余角をαとすると，地面に垂直に立てた棒の影の長さは，棒の長さの tan(α) 倍である。 よって，影の長さからαを逆算できる。 そして公転角度τは，緯度ａでの南中太陽の仰角余角αとつぎの関係にある (  南中太陽の高度)：
\[
\alpha_c = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c
\\
\]
この式から，τの計算式が導かれる：
\[ (a_c)^2 ( 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 ) = ( \alpha_c - n_s a_s \tau_c )^2 \\ \quad = (\alpha_c)^2 - 2 \alpha_c n_s a_s \tau_c + (n_s)^2 (a_s)^2 (\tau_c)^2 \\ \ \\ \Longrightarrow \ \ ( (n_s)^2 (a_s)^2 + (n_s)^2 (a_c)^2 ) ( \tau_c )^2 - 2 \alpha_c n_s a_s \tau_c + (\alpha_c)^2 - (a_c)^2 = 0 \\ \ \\ \Longrightarrow \ \ (n_s)^2 ( \tau_c )^2 - 2 n_s a_s \alpha_c \tau_c + (\alpha_c)^2 - (a_c)^2 = 0 \\ \ \\ \Longrightarrow \ \ \tau_c = \frac { n_s a_s \alpha_c \pm \sqrt{ ( n_s a_s \alpha_c )^2 - (n_s)^2 ( (\alpha_c)^2 - (a_c)^2 ) } } { (n_s)^2 } \\ \] そしてルートの中の計算が， \[ \begin{align} & (n_s)^2 (a_s)^2 (\alpha_c)^2 - (n_s)^2 (\alpha_c)^2 + (n_s)^2 (a_c)^2 \\ & (n_s)^2 ( (a_s)^2 (\alpha_c)^2 - (\alpha_c)^2 + (a_c)^2 ) \\ &= (n_s)^2 ( - (a_c)^2 (\alpha_c)^2 + (a_c)^2 ) \\ &= (n_s)^2 (a_c)^2 (\alpha_s)^2 \end{align} \\ \] よって， \[ \tau_c = \frac { n_s a_s \alpha_c \pm n_s a_c \alpha_s }{ (n_s)^2 } \\ \quad = \frac { a_s \alpha_c \pm a_c \alpha_s }{ n_s } \] これをもとの式 \[ \alpha_c = a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \] に代入すると， \[ 1 - (n_s)^2 \biggr( \frac { a_s \alpha_c \pm a_c \alpha_s }{ n_s } \biggl)^2 \\ = 1 - ( a_s \alpha_c \pm a_c \alpha_s )^2 \\ = ( (a_s)^2 + (a_c)^2 ) - (a_s)^2 (\alpha_c)^2 \mp 2 a_s \alpha_c a_c \alpha_s - (a_c)^2 (\alpha_s)^2 \\ = (a_s)^2 - (a_s)^2 (\alpha_c)^2 \mp 2 a_s a_c \alpha_s \alpha_c + (a_c)^2 - (a_c)^2 (\alpha_s)^2 \\ = (a_s)^2 (\alpha_s)^2 \mp 2 a_s a_c \alpha_s \alpha_c + (a_c)^2 (\alpha_c)^2 \\ = (a_s \alpha_s \mp a_c \alpha_c)^2 \\ \ \\ \Longrightarrow \ \ \alpha_c = a_c (a_s \alpha_s \mp a_c \alpha_c) + n_s a_s \frac { a_s \alpha_c \pm a_c \alpha_s }{ n_s } \\ \quad \quad = a_s a_c \alpha_s \mp (a_c)^2 \alpha_c + (a_s)^2 \alpha_c \pm a_s a_c \alpha_s \\ \] 等式を成り立たせるのは，つぎの方である： \[ \tau_c = \frac { a_s \alpha_c - a_c \alpha_s }{ n_s } \\ \ \\ \] 緯度ａの南中太陽において《ポールの高さのｒ倍が影の長さ》であるとき，公転角度τは， \[ \tau_c = \frac { a_s \alpha_c - a_c \alpha_s }{ n_s } \\ \alpha = tan^{-1}\ r \\ \ \\ \] |