これは既に，つぎの経路で導いている： ここでは，ついでにということで，つぎの経路で導いておく： 公転角度がτ, 緯度ａ, 経度ｂでの太陽の高度は，つぎの通り(  太陽の高度)：
\[
\alpha_c = a_c \tau_s \ b_c - n_c a_c \tau_c \ b_s + n_s a_s \tau_c
\\
\]
また, 南中の座標はつぎの通り ( 南中の座標)：
\[
b_c = \frac { \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } \\
b_s = \frac { - n_c \tau_c }{ \sqrt{1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2} }
\\
\]
以上を合わせて：
\[ \begin{align} \alpha_c &= a_c \tau_s \frac { \tau_s} {\sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } \\ & \quad - n_c a_c \tau_c \frac { - n_c \tau_c }{ \sqrt{1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2} } + n_s a_s \tau_c \\ &= \frac { a_c (\tau_s)^2 + (n_c)^2 a_c (\tau_c)^2 } { \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= \frac { a_c ( ( 1 - \tau_c)^2 ) + (n_c)^2 (\tau_c)^2 ) } { \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= \frac { a_c ( ( 1 - \tau_c)^2 ) + (n_c)^2 (\tau_c)^2 ) } { \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= \frac { a_c ( ( 1 - (n_s)^2 (\tau_c)^2 ) } { \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } } + n_s a_s \tau_c \\ &= a_c \sqrt{ 1 - (n_s)^2 ( \tau_c )^2 } + n_s a_s \tau_c \\ \\ \ \\ \end{align} \] よって，\( \alpha = a \) |