特殊相対性理論での計量テンソルは，ミンコフスキー計量
\[
ds^2 = \sum_{i,j=0}^3 \eta_{ij} \, dx^i \, dx^j \\
\]
であり，そしてこれの一般座標 \( u^i \) への書き換えは，つぎのようになった：
\[
\left(
\begin{array}{c}
x^0 \\
x^1 \\
x^2 \\
x^3 \\
\end{array}
\right)
\begin{array}{c}
\left(\,\frac{\partial x^i}{\partial u^j}\,\right) \\
\longleftarrow \\
\longrightarrow \\
\left(\,\frac{\partial u^i}{\partial x^j}\,\right) \\
\end{array}
\left(
\begin{array}{c}
u^0 \\
u^1 \\
u^2 \\
u^3 \\
\end{array}
\right)
\\
x^i = \sum_{j=0}^3 \frac{\partial x^i}{\partial u^j} u^j \ \ \ \ u^i = \sum_{j=0}^3 \frac{\partial u^i}{\partial x^j} x^j \ \ \ \ (\, i = 0,1,2,3 \,)
\\
\\
ds^2 = \sum_{i,j=0}^3 g_{ij}\, du^i \, du^j \\
g_{ij} = \sum_{k,l=0}^3 \eta_{kl} \frac{\partial x^k}{\partial u^i} \frac{\partial x^l}{\partial u^j}
\]
固有時τは，ミンコフスキー計量 \(ds^2\) とつぎの関係にあった：
\[
ds^2 = - c^2 \, {d\tau}^2
\]
よって，
\[
d{\tau}^2 = - \frac{1}{c^2} ds^2
= - \frac{1}{c^2} \sum_{i,j=0}^3 \eta_{ij} \, dx^i \, dx^j \\
d{\tau} = \frac{1}{c} \sqrt{ - \sum_{i,j=0}^3 \eta_{ij}\, dx^i \, dx }
\]
併せて，固有時τの一般座標表現を得る：
\[
d{\tau}^2 = - \frac{1}{c^2} ds^2
= - \frac{1}{c^2} \sum_{i,j=0}^3 g_{ij}\, du^i \, du^j \\
d{\tau} = \frac{1}{c} \sqrt{ - \sum_{i,j=0}^3 g_{ij}\, du^i \, du^j }
\]
いま，座標 \( (x^0, x^1, x^2, x^3) \) と\( (u^0, u^1, u^2, u^3) \) が同じ点Aを指していて，かつ座標 \( (x^0, x^1, x^2, x^3) \) に対してAが静止しているとする。
このとき，座標 \( (u^0, u^1, u^2, u^3) \) に対するAでの固有時は：
\[
dx^i = 0 \ \ \ ( i = 1,2,3) \\
\Longrightarrow
g_{ij} = \sum_{k,l=0}^3 \eta_{kl} \frac{\partial x^k}{\partial u^i} \frac{\partial x^l}{\partial u^j}
= \eta_{00} \frac{\partial x^0}{\partial u^i} \frac{\partial x^0}{\partial u^j}
= - c^2 \frac{\partial t}{\partial u^i} \frac{\partial t}{\partial u^j}
\\
\Longrightarrow d{\tau}
= \frac{1}{c} \sqrt{ - \sum_{i,j=0}^3 g_{ij}\, du^i \, du^j }
= \frac{1}{c} \sqrt{ - \sum_{i,j=0}^3 \left( - c^2 \frac{\partial t}{\partial u^i} \frac{\partial t}{\partial u^j} \right) du^i \, du^j }
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sqrt{ \sum_{i,j=0}^3 \frac{\partial t}{\partial u^i} du^i \frac{\partial t}{\partial u^j} du^j }
\]
備考 : 固有時τについては，既につぎの等式が得ている
(  「時間の４元化──固有時間」)：
\[
\frac{d{\tau}}{dt} = \sqrt{ 1 - \frac{|{\bf v}(t)|^2}{c^2} }
\]
この等式は，
\[
d{\tau}^2 = - \frac{1}{c^2} ds^2
= - \frac{1}{c^2} \sum_{i,j=0}^3 \eta_{ij} \, dx^i \, dx^j \\
\]
からも，つぎのように導かれる：
\[
ct = x^0 \ \Longrightarrow \ dt = \frac{1}{c} dx^0
\\
\\
\frac{d \tau}{dt}
= \frac{ \frac{1}{c} \sqrt{ - \sum_{i,j=0}^3 \eta_{ij}\, dx^i \, dx^j }}
{\frac{1}{c} dx^0} \\
\\ =
\sqrt{
\frac{- \sum_{i,j=0}^3 {\eta}_{ij}\, dx^i \, dx^j}{(dx^0)^2}
}
\\ =
\sqrt{
{\left( \frac{dx^0}{dx^0} \right)}^2
- \frac{
{\left( \frac{dx^1}{dt} \right)}^2
+ {\left( \frac{dx^2}{dt} \right)}^2
+ {\left( \frac{dx^3}{dt} \right)}^2
}{c^2}
}
\\ =
\sqrt{ 1 - \frac{|{\bf v}(t)|^2}{c^2} }
\]
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